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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue]{hyperref}
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\usepackage{cp2021t}
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\def\getGif#1{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{cp2021t_media/#1.png}}
\let\uk=\emph
\def\aspas#1{``#1"}
%================= lhs2tex=====================================================%
%include polycode.fmt
%format (div (x)(y)) = x "\div " y
%format succ = "\succ "
%format ==> = "\Longrightarrow "
%format map = "\map "
%format length = "\length "
%format fst = "\p1"
%format p1 = "\p1"
%format snd = "\p2"
%format p2 = "\p2"
%format Left = "i_1"
%format Right = "i_2"
%format i1 = "i_1"
%format i2 = "i_2"
%format >< = "\times"
%format >|< = "\bowtie "
%format |-> = "\mapsto"
%format . = "\comp "
%format .=?=. = "\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}"
%format (kcomp (f)(g)) = f "\kcomp " g
%format -|- = "+"
%format conc = "\mathsf{conc}"
%format summation = "{\sum}"
%format (either (a) (b)) = "\alt{" a "}{" b "}"
%format (frac (a) (b)) = "\frac{" a "}{" b "}"
%format (uncurry f) = "\uncurry{" f "}"
%format (const f) = "\underline{" f "}"
%format TLTree = "\mathsf{TLTree}"
%format (lcbr (x)(y)) = "\begin{lcbr}" x "\\" y "\end{lcbr}"
%format (split (x) (y)) = "\conj{" x "}{" y "}"
%format (for (f) (i)) = "\for{" f "}\ {" i "}"
%format B_tree = "\mathsf{B}\mbox{-}\mathsf{tree} "
\def\ana#1{\mathopen{[\!(}#1\mathclose{)\!]}}
%format <$> = "\mathbin{\mathopen{\langle}\$\mathclose{\rangle}}"
%format (cataA (f) (g)) = "\cata{" f "~" g "}_A"
%format (anaA (f) (g)) = "\ana{" f "~" g "}_A"
%format (cataB (f) (g)) = "\cata{" f "~" g "}_B"
%format (cata (f)) = "\cata{" f "}"
%format (anaB (f) (g)) = "\ana{" f "~" g "}_B"
%format Either a b = a "+" b
%format fmap = "\mathsf{fmap}"
%format NA = "\textsc{na}"
%format NB = "\textsc{nb}"
%format inT = "\mathsf{in}"
%format outT = "\mathsf{out}"
%format Null = "1"
%format (Prod (a) (b)) = a >< b
%format fF = "\fun F "
%format e1 = "e_1 "
%format e2 = "e_2 "
%format Dist = "\fun{Dist}"
%format IO = "\fun{IO}"
%format BTree = "\fun{BTree} "
%format LTree = "\mathsf{LTree}"
%format inNat = "\mathsf{in}"
%format (cataNat (g)) = "\cata{" g "}"
%format Nat0 = "\N_0"
%format Rational = "\Q "
%format toRational = " to_\Q "
%format fromRational = " from_\Q "
%format muB = "\mu "
%format (frac (n)(m)) = "\frac{" n "}{" m "}"
%format (fac (n)) = "{" n "!}"
%format (underbrace (t) (p)) = "\underbrace{" t "}_{" p "}"
%format matrix = "matrix"
%%format (bin (n) (k)) = "\Big(\vcenter{\xymatrix@R=1pt{" n "\\" k "}}\Big)"
%format `ominus` = "\mathbin{\ominus}"
%format % = "\mathbin{/}"
%format <-> = "{\,\leftrightarrow\,}"
%format <|> = "{\,\updownarrow\,}"
%format `minusNat`= "\mathbin{-}"
%format ==> = "\Rightarrow"
%format .==>. = "\Rightarrow"
%format .<==>. = "\Leftrightarrow"
%format .==. = "\equiv"
%format .<=. = "\leq"
%format .&&&. = "\wedge"
%format cdots = "\cdots "
%format pi = "\pi "
%format (curry (f)) = "\overline{" f "}"
%format (cataLTree (x)) = "\llparenthesis\, " x "\,\rrparenthesis"
%format (anaLTree (x)) = "\mathopen{[\!(}" x "\mathclose{)\!]}"
%format delta = "\Delta "
%---------------------------------------------------------------------------
\title{
Cálculo de Programas
\\
Trabalho Prático
\\
MiEI+LCC --- 2020/21
}
\author{
\dium
\\
Universidade do Minho
}
\date\mydate
\makeindex
\newcommand{\rn}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}\large
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Grupo} nr. & 47
\\\hline
a91695 & Tiago dos Santos Silva Peixoto Carriço
\\
a91637 & Henrique Pinto Pires Lopes de Faria
\\
a91635 & Miguel Ângelo Alves de Freitas
\\
a91697 & Luís Filipe Fernandes Vilas
\end{tabular}
\end{center}
\section{Preâmbulo}
\CP\ tem como objectivo principal ensinar
a progra\-mação de computadores como uma disciplina científica. Para isso
parte-se de um repertório de \emph{combinadores} que formam uma álgebra da
programação (conjunto de leis universais e seus corolários) e usam-se esses
combinadores para construir programas \emph{composicionalmente}, isto é,
agregando programas já existentes.
Na sequência pedagógica dos planos de estudo dos dois cursos que têm
esta disciplina, opta-se pela aplicação deste método à programação
em \Haskell\ (sem prejuízo da sua aplicação a outras linguagens
funcionais). Assim, o presente trabalho prático coloca os
alunos perante problemas concretos que deverão ser implementados em
\Haskell. Há ainda um outro objectivo: o de ensinar a documentar
programas, a validá-los e a produzir textos técnico-científicos de
qualidade.
\section{Documentação} Para cumprir de forma integrada os objectivos
enunciados acima vamos recorrer a uma técnica de programa\-ção dita
``\litp{literária}'' \cite{Kn92}, cujo princípio base é o seguinte:
%
\begin{quote}\em Um programa e a sua documentação devem coincidir.
\end{quote}
%
Por outras palavras, o código fonte e a documentação de um
programa deverão estar no mesmo ficheiro.
O ficheiro \texttt{cp2021t.pdf} que está a ler é já um exemplo de
\litp{programação literária}: foi gerado a partir do texto fonte
\texttt{cp2021t.lhs}\footnote{O suffixo `lhs' quer dizer
\emph{\lhaskell{literate Haskell}}.} que encontrará no
\MaterialPedagogico\ desta disciplina descompactando o ficheiro
\texttt{cp2021t.zip} e executando:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ lhs2TeX cp2021t.lhs > cp2021t.tex
$ pdflatex cp2021t
\end{Verbatim}
em que \href{https://hackage.haskell.org/package/lhs2tex}{\texttt\LhsToTeX} é
um pre-processador que faz ``pretty printing''
de código Haskell em \Latex\ e que deve desde já instalar executando
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ cabal install lhs2tex --lib
\end{Verbatim}
Por outro lado, o mesmo ficheiro \texttt{cp2021t.lhs} é executável e contém
o ``kit'' básico, escrito em \Haskell, para realizar o trabalho. Basta executar
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ ghci cp2021t.lhs
\end{Verbatim}
%if False
\begin{code}
{-# OPTIONS_GHC -XNPlusKPatterns #-}
{-# LANGUAGE GeneralizedNewtypeDeriving, DeriveDataTypeable, FlexibleInstances #-}
module Main where
import Cp
import List hiding (fac)
import Nat
import LTree
import Data.List hiding (find)
import Test.QuickCheck hiding ((><),choose,collect)
import qualified Test.QuickCheck as QuickCheck
import Graphics.Gloss
import Graphics.Gloss.Interface.Pure.Game
import Control.Monad
import Control.Applicative hiding ((<|>))
import System.Process
\end{code}
%endif
\noindent Abra o ficheiro \texttt{cp2021t.lhs} no seu editor de texto preferido
e verifique que assim é: todo o texto que se encontra dentro do ambiente
\begin{quote}\small\tt
\verb!\begin{code}!
\\ ... \\
\verb!\end{code}!
\end{quote}
é seleccionado pelo \GHCi\ para ser executado.
\section{Como realizar o trabalho}
Este trabalho teórico-prático deve ser realizado por grupos de 3 (ou 4) alunos.
Os detalhes da avaliação (datas para submissão do relatório e sua defesa
oral) são os que forem publicados na \cp{página da disciplina} na \emph{internet}.
Recomenda-se uma abordagem participativa dos membros do grupo
de trabalho por forma a poderem responder às questões que serão colocadas
na \emph{defesa oral} do relatório.
Em que consiste, então, o \emph{relatório} a que se refere o parágrafo anterior?
É a edição do texto que está a ser lido, preenchendo o anexo \ref{sec:resolucao}
com as respostas. O relatório deverá conter ainda a identificação dos membros
do grupo de trabalho, no local respectivo da folha de rosto.
Para gerar o PDF integral do relatório deve-se ainda correr os comando seguintes,
que actualizam a bibliografia (com \Bibtex) e o índice remissivo (com \Makeindex),
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ bibtex cp2021t.aux
$ makeindex cp2021t.idx
\end{Verbatim}
e recompilar o texto como acima se indicou. Dever-se-á ainda instalar o utilitário
\QuickCheck,
que ajuda a validar programas em \Haskell\ e a biblioteca \gloss{Gloss} para
geração de gráficos 2D:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ cabal install QuickCheck gloss --lib
\end{Verbatim}
Para testar uma propriedade \QuickCheck~|prop|, basta invocá-la com o comando:
\begin{verbatim}
> quickCheck prop
+++ OK, passed 100 tests.
\end{verbatim}
Pode-se ainda controlar o número de casos de teste e sua complexidade,
como o seguinte exemplo mostra:
\begin{verbatim}
> quickCheckWith stdArgs { maxSuccess = 200, maxSize = 10 } prop
+++ OK, passed 200 tests.
\end{verbatim}
Qualquer programador tem, na vida real, de ler e analisar (muito!) código
escrito por outros. No anexo \ref{sec:codigo} disponibiliza-se algum
código \Haskell\ relativo aos problemas que se seguem. Esse anexo deverá
ser consultado e analisado à medida que isso for necessário.
\subsection{Stack}
O \stack{Stack} é um programa útil para criar, gerir e manter projetos em \Haskell.
Um projeto criado com o Stack possui uma estrutura de pastas muito específica:
\begin{itemize}
\item Os módulos auxiliares encontram-se na pasta \emph{src}.
\item O módulos principal encontra-se na pasta \emph{app}.
\item A lista de depêndencias externas encontra-se no ficheiro \emph{package.yaml}.
\end{itemize}
Pode aceder ao \GHCi\ utilizando o comando:
\begin{verbatim}
stack ghci
\end{verbatim}
Garanta que se encontra na pasta mais externa \textbf{do projeto}.
A primeira vez que correr este comando as depêndencias externas serão instaladas automaticamente.
Para gerar o PDF, garanta que se encontra na diretoria \emph{app}.
\Problema
Os \emph{tipos de dados algébricos} estudados ao longo desta disciplina oferecem
uma grande capacidade expressiva ao programador. Graças à sua flexibilidade,
torna-se trivial implementar \DSL s
e até mesmo \href{http://www.cse.chalmers.se/~ulfn/papers/thesis.pdf}{linguagens de programação}.
Paralelamente, um tópico bastante estudado no âmbito de \DL\
é a derivação automática de expressões matemáticas, por exemplo, de derivadas.
Duas técnicas que podem ser utilizadas para o cálculo de derivadas são:
\begin{itemize}
\item \emph{Symbolic differentiation}
\item \emph{Automatic differentiation}
\end{itemize}
\emph{Symbolic differentiation} consiste na aplicação sucessiva de transformações
(leia-se: funções) que sejam congruentes com as regras de derivação. O resultado
final será a expressão da derivada.
O leitor atento poderá notar um problema desta técnica: a expressão
inicial pode crescer de forma descontrolada, levando a um cálculo pouco eficiente.
\emph{Automatic differentiation} tenta resolver este problema,
calculando \textbf{o valor} da derivada da expressão em todos os passos.
Para tal, é necessário calcular o valor da expressão \textbf{e} o valor da sua derivada.
Vamos de seguida definir uma linguagem de expressões matemáticas simples e
implementar as duas técnicas de derivação automática.
Para isso, seja dado o seguinte tipo de dados,
\begin{code}
data ExpAr a = X
| N a
| Bin BinOp (ExpAr a) (ExpAr a)
| Un UnOp (ExpAr a)
deriving (Eq, Show)
\end{code}
\noindent
onde |BinOp| e |UnOp| representam operações binárias e unárias, respectivamente:
\begin{code}
data BinOp = Sum
| Product
deriving (Eq, Show)
data UnOp = Negate
| E
deriving (Eq, Show)
\end{code}
\noindent
O construtor |E| simboliza o exponencial de base $e$.
Assim, cada expressão pode ser uma variável, um número, uma operação binária
aplicada às devidas expressões, ou uma operação unária aplicada a uma expressão.
Por exemplo,
\begin{spec}
Bin Sum X (N 10)
\end{spec}
designa |x+10| na notação matemática habitual.
\begin{enumerate}
\item A definição das funções |inExpAr| e |baseExpAr| para este tipo é a seguinte:
\begin{code}
inExpAr = either (const X) num_ops where
num_ops = either N ops
ops = either bin (uncurry Un)
bin(op, (a, b)) = Bin op a b
baseExpAr f g h j k l z = f -|- (g -|- (h >< (j >< k) -|- l >< z))
\end{code}
Defina as funções |outExpAr| e |recExpAr|,
e teste as propriedades que se seguem.
\begin{propriedade}
|inExpAr| e |outExpAr| são testemunhas de um isomorfismo,
isto é,
|inExpAr . outExpAr = id| e |outExpAr . idExpAr = id|:
\begin{code}
prop_in_out_idExpAr :: (Eq a) => ExpAr a -> Bool
prop_in_out_idExpAr = inExpAr . outExpAr .==. id
prop_out_in_idExpAr :: (Eq a) => OutExpAr a -> Bool
prop_out_in_idExpAr = outExpAr . inExpAr .==. id
\end{code}
\end{propriedade}
\item Dada uma expressão aritmética e um escalar para substituir o |X|,
a função
\begin{quote}
|eval_exp :: Floating a => a -> (ExpAr a) -> a|
\end{quote}
\noindent calcula o resultado da expressão. Na página \pageref{pg:P1}
esta função está expressa como um catamorfismo. Defina o respectivo gene
e, de seguida, teste as propriedades:
\begin{propriedade}
A função |eval_exp| respeita os elementos neutros das operações.
\begin{code}
prop_sum_idr :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_sum_idr a exp = eval_exp a exp .=?=. sum_idr where
sum_idr = eval_exp a (Bin Sum exp (N 0))
prop_sum_idl :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_sum_idl a exp = eval_exp a exp .=?=. sum_idl where
sum_idl = eval_exp a (Bin Sum (N 0) exp)
prop_product_idr :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_product_idr a exp = eval_exp a exp .=?=. prod_idr where
prod_idr = eval_exp a (Bin Product exp (N 1))
prop_product_idl :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_product_idl a exp = eval_exp a exp .=?=. prod_idl where
prod_idl = eval_exp a (Bin Product (N 1) exp)
prop_e_id :: (Floating a, Real a) => a -> Bool
prop_e_id a = eval_exp a (Un E (N 1)) == expd 1
prop_negate_id :: (Floating a, Real a) => a -> Bool
prop_negate_id a = eval_exp a (Un Negate (N 0)) == 0
\end{code}
\end{propriedade}
\begin{propriedade}
Negar duas vezes uma expressão tem o mesmo valor que não fazer nada.
\begin{code}
prop_double_negate :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_double_negate a exp = eval_exp a exp .=?=. eval_exp a (Un Negate (Un Negate exp))
\end{code}
\end{propriedade}
\item É possível otimizar o cálculo do valor de uma expressão aritmética tirando proveito
dos elementos absorventes de cada operação. Implemente os genes da função
\begin{spec}
optmize_eval :: (Floating a, Eq a) => a -> (ExpAr a) -> a
\end{spec}
que se encontra na página \pageref{pg:P1} expressa como um hilomorfismo\footnote{Qual é a vantagem de implementar a função |optimize_eval| utilizando um hilomorfismo em vez de utilizar um catamorfismo com um gene "inteligente"?}
e teste as propriedades:
\begin{propriedade}
A função |optimize_eval| respeita a semântica da função |eval|.
\begin{code}
prop_optimize_respects_semantics :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_optimize_respects_semantics a exp = eval_exp a exp .=?=. optmize_eval a exp
\end{code}
\end{propriedade}
\item Para calcular a derivada de uma expressão, é necessário aplicar transformações
à expressão original que respeitem as regras das derivadas:\footnote{%
Apesar da adição e multiplicação gozarem da propriedade comutativa,
há que ter em atenção a ordem das operações por causa dos testes.}
\begin{itemize}
\item Regra da soma:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}(f(x))+\frac{d}{dx}(g(x))
\end{eqnarray*}
\item Regra do produto:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f(x)\cdot \frac{d}{dx}(g(x))+\frac{d}{dx}(f(x))\cdot g(x)
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
Defina o gene do catamorfismo que ocorre na função
\begin{quote}
|sd :: Floating a => ExpAr a -> ExpAr a|
\end{quote}
que, dada uma expressão aritmética, calcula a sua derivada.
Testes a fazer, de seguida:
\begin{propriedade}
A função |sd| respeita as regras de derivação.
\begin{code}
prop_const_rule :: (Real a, Floating a) => a -> Bool
prop_const_rule a = sd (N a) == N 0
prop_var_rule :: Bool
prop_var_rule = sd X == N 1
prop_sum_rule :: (Real a, Floating a) => ExpAr a -> ExpAr a -> Bool
prop_sum_rule exp1 exp2 = sd (Bin Sum exp1 exp2) == sum_rule where
sum_rule = Bin Sum (sd exp1) (sd exp2)
prop_product_rule :: (Real a, Floating a) => ExpAr a -> ExpAr a -> Bool
prop_product_rule exp1 exp2 = sd (Bin Product exp1 exp2) == prod_rule where
prod_rule =Bin Sum (Bin Product exp1 (sd exp2)) (Bin Product (sd exp1) exp2)
prop_e_rule :: (Real a, Floating a) => ExpAr a -> Bool
prop_e_rule exp = sd (Un E exp) == Bin Product (Un E exp) (sd exp)
prop_negate_rule :: (Real a, Floating a) => ExpAr a -> Bool
prop_negate_rule exp = sd (Un Negate exp) == Un Negate (sd exp)
\end{code}
\end{propriedade}
\item Como foi visto, \emph{Symbolic differentiation} não é a técnica
mais eficaz para o cálculo do valor da derivada de uma expressão.
\emph{Automatic differentiation} resolve este problema cálculando o valor
da derivada em vez de manipular a expressão original.
Defina o gene do catamorfismo que ocorre na função
\begin{spec}
ad :: Floating a => a -> ExpAr a -> a
\end{spec}
que, dada uma expressão aritmética e um ponto,
calcula o valor da sua derivada nesse ponto,
sem transformar manipular a expressão original.
Testes a fazer, de seguida:
\begin{propriedade}
Calcular o valor da derivada num ponto |r| via |ad| é equivalente a calcular a derivada da expressão e avalia-la no ponto |r|.
\begin{code}
prop_congruent :: (Floating a, Real a) => a -> ExpAr a -> Bool
prop_congruent a exp = ad a exp .=?=. eval_exp a (sd exp)
\end{code}
\end{propriedade}
\end{enumerate}
\Problema
Nesta disciplina estudou-se como fazer \pd{programação dinâmica} por cálculo,
recorrendo à lei de recursividade mútua.\footnote{Lei (\ref{eq:fokkinga})
em \cite{Ol18}, página \pageref{eq:fokkinga}.}
Para o caso de funções sobre os números naturais (|Nat0|, com functor |fF
X = 1 + X|) é fácil derivar-se da lei que foi estudada uma
\emph{regra de algibeira}
\label{pg:regra}
que se pode ensinar a programadores que não tenham estudado
\cp{Cálculo de Programas}. Apresenta-se de seguida essa regra, tomando como exemplo o
cálculo do ciclo-\textsf{for} que implementa a função de Fibonacci, recordar
o sistema
\begin{spec}
fib 0 = 1
fib(n+1) = f n
f 0 = 1
f (n+1) = fib n + f n
\end{spec}
Obter-se-á de imediato
\begin{code}
fib' = p1 . for loop init where
loop(fib,f)=(f,fib+f)
init = (1,1)
\end{code}
usando as regras seguintes:
\begin{itemize}
\item O corpo do ciclo |loop| terá tantos argumentos quanto o número de funções mutuamente recursivas.
\item Para as variáveis escolhem-se os próprios nomes das funções, pela ordem
que se achar conveniente.\footnote{Podem obviamente usar-se outros símbolos, mas numa primeira leitura
dá jeito usarem-se tais nomes.}
\item Para os resultados vão-se buscar as expressões respectivas, retirando a variável |n|.
\item Em |init| coleccionam-se os resultados dos casos de base das funções, pela mesma ordem.
\end{itemize}
Mais um exemplo, envolvendo polinómios do segundo grau $ax^2 + b x + c$ em |Nat0|.
Seguindo o método estudado nas aulas\footnote{Secção 3.17 de \cite{Ol18} e tópico
\href{https://www4.di.uminho.pt/~jno/media/cp/}{Recursividade mútua} nos vídeos das aulas teóricas.},
de $f\ x = a x^2 + b x + c$ derivam-se duas funções mutuamente recursivas:
\begin{spec}
f 0 = c
f (n+1) = f n + k n
k 0 = a + b
k(n+1) = k n + 2 a
\end{spec}
Seguindo a regra acima, calcula-se de imediato a seguinte implementação, em Haskell:
\begin{code}
f' a b c = p1 . for loop init where
loop(f,k) = (f+k,k+2*a)
init = (c,a+b)
\end{code}
O que se pede então, nesta pergunta?
Dada a fórmula que dá o |n|-ésimo \catalan{número de Catalan},
\begin{eqnarray}
C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)! (n!) }
\label{eq:cat}
\end{eqnarray}
derivar uma implementação de $C_n$ que não calcule factoriais nenhuns.
Isto é, derivar um ciclo-\textsf{for}
\begin{spec}
cat = cdots . for loop init where cdots
\end{spec}
que implemente esta função.
\begin{propriedade}
A função proposta coincidem com a definição dada:
\begin{code}
prop_cat = (>=0) .==>. (catdef .==. cat)
\end{code}
\end{propriedade}
%
\textbf{Sugestão}: Começar por estudar muito bem o processo de cálculo dado
no anexo \ref{sec:recmul} para o problema (semelhante) da função exponencial.
\Problema
As \bezier{curvas de Bézier}, designação dada em honra ao engenheiro
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_B%C3%A9zier}{Pierre Bézier},
são curvas ubíquas na área de computação gráfica, animação e modelação.
Uma curva de Bézier é uma curva paramétrica, definida por um conjunto
$\{P_0,...,P_N\}$ de pontos de controlo, onde $N$ é a ordem da curva.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{cp2021t_media/Bezier_curves.png}
\caption{Exemplos de curvas de Bézier retirados da \bezier{ Wikipedia}.}
\end{figure}
O algoritmo de \emph{De Casteljau} é um método recursivo capaz de calcular
curvas de Bézier num ponto. Apesar de ser mais lento do que outras abordagens,
este algoritmo é numericamente mais estável, trocando velocidade por correção.
De forma sucinta, o valor de uma curva de Bézier de um só ponto $\{P_0\}$
(ordem $0$) é o próprio ponto $P_0$. O valor de uma curva de Bézier de ordem
$N$ é calculado através da interpolação linear da curva de Bézier dos primeiros
$N-1$ pontos e da curva de Bézier dos últimos $N-1$ pontos.
A interpolação linear entre 2 números, no intervalo $[0, 1]$, é dada pela
seguinte função:
\begin{code}
linear1d :: Rational -> Rational -> OverTime Rational
linear1d a b = formula a b where
formula :: Rational -> Rational -> Float -> Rational
formula x y t = ((1.0 :: Rational) - (toRational t)) * x + (toRational t) * y
\end{code}
%
A interpolação linear entre 2 pontos de dimensão $N$ é calculada através
da interpolação linear de cada dimensão.
O tipo de dados |NPoint| representa um ponto com $N$ dimensões.
\begin{code}
type NPoint = [Rational]
\end{code}
Por exemplo, um ponto de 2 dimensões e um ponto de 3 dimensões podem ser
representados, respetivamente, por:
\begin{spec}
p2d = [1.2, 3.4]
p3d = [0.2, 10.3, 2.4]
\end{spec}
%
O tipo de dados |OverTime a| representa um termo do tipo |a| num dado instante
(dado por um |Float|).
\begin{code}
type OverTime a = Float -> a
\end{code}
%
O anexo \ref{sec:codigo} tem definida a função
\begin{spec}
calcLine :: NPoint -> (NPoint -> OverTime NPoint)
\end{spec}
que calcula a interpolação linear entre 2 pontos, e a função
\begin{spec}
deCasteljau :: [NPoint] -> OverTime NPoint
\end{spec}
que implementa o algoritmo respectivo.
\begin{enumerate}
\item Implemente |calcLine| como um catamorfismo de listas,
testando a sua definição com a propriedade:
\begin{propriedade} Definição alternativa.
\begin{code}
prop_calcLine_def :: NPoint -> NPoint -> Float -> Bool
prop_calcLine_def p q d = calcLine p q d == zipWithM linear1d p q d
\end{code}
\end{propriedade}
\item Implemente a função |deCasteljau| como um hilomorfismo, testando agora a propriedade:
\begin{propriedade}
Curvas de Bézier são simétricas.
\begin{code}
prop_bezier_sym :: [[Rational]] -> Gen Bool
prop_bezier_sym l = all (< delta) . calc_difs . bezs <$> elements ps where
calc_difs = (\(x, y) -> zipWith (\w v -> if w >= v then w - v else v - w) x y)
bezs t = (deCasteljau l t, deCasteljau (reverse l) (fromRational (1 - (toRational t))))
delta = 1e-2
\end{code}
\end{propriedade}
\item Corra a função |runBezier| e aprecie o seu trabalho\footnote{%
A representação em Gloss é uma adaptação de um
\href{https://github.com/hrldcpr/Bezier.hs}{projeto}
de Harold Cooper.} clicando na janela que é aberta (que contém, a verde, um ponto
inicila) com o botão esquerdo do rato para adicionar mais pontos.
A tecla |Delete| apaga o ponto mais recente.
\end{enumerate}
\Problema
Seja dada a fórmula que calcula a média de uma lista não vazia $x$,
\begin{equation}
avg\ x = \frac 1 k\sum_{i=1}^{k} x_i
\end{equation}
onde $k=length\ x$. Isto é, para sabermos a média de uma lista precisamos de dois catamorfismos: o que faz o somatório e o que calcula o comprimento a lista.
Contudo, é facil de ver que
\begin{quote}
$avg\ [a]=a$
\\
$avg (a:x) = \frac 1 {k+1}(a+\sum_{i=1}^{k} x_i) = \frac{a+k(avg\ x)}{k+1}$ para $k=length\ x$
\end{quote}
Logo $avg$ está em recursividade mútua com $length$ e o par de funções pode ser expresso por um único catamorfismo, significando que a lista apenas é percorrida uma vez.
\begin{enumerate}
\item Recorra à lei de recursividade mútua para derivar a função
|avg_aux = cata (either b q)| tal que
|avg_aux = split avg length| em listas não vazias.
\item Generalize o raciocínio anterior para o cálculo da média de todos os elementos de uma \LTree\ recorrendo a uma única travessia da árvore (i.e.\ catamorfismo).
\end{enumerate}
Verifique as suas funções testando a propriedade seguinte:
\begin{propriedade}
A média de uma lista não vazia e de uma \LTree\ com os mesmos elementos coincide,
a menos de um erro de 0.1 milésimas:
\begin{code}
prop_avg = nonempty .==>. diff .<=. const 0.000001 where
diff l = avg l - (avgLTree . genLTree) l
genLTree = anaLTree lsplit
nonempty = (>[])
\end{code}
\end{propriedade}
\Problema (\textbf{NB}: Esta questão é \textbf{opcional} e funciona como \textbf{valorização} apenas para os alunos que desejarem fazê-la.)
\vskip 1em \noindent
Existem muitas linguagens funcionais para além do \Haskell, que é a linguagem usada neste trabalho prático. Uma delas é o \Fsharp\ da Microsoft. Na directoria \verb!fsharp! encontram-se os módulos \Cp, \Nat\ e \LTree\ codificados em \Fsharp. O que se pede é a biblioteca \BTree\ escrita na mesma linguagem.
Modo de execução: o código que tiverem produzido nesta pergunta deve ser colocado entre o \verb!\begin{verbatim}! e o \verb!\end{verbatim}! da correspondente parte do anexo \ref{sec:resolucao}. Para além disso, os grupos podem demonstrar o código na oral.
\newpage
\part*{Anexos}
\appendix
\section{Como exprimir cálculos e diagramas em LaTeX/lhs2tex}
Como primeiro exemplo, estudar o texto fonte deste trabalho para obter o
efeito:\footnote{Exemplos tirados de \cite{Ol18}.}
\begin{eqnarray*}
\start
|id = split f g|
%
\just\equiv{ universal property }
%
|lcbr(
p1 . id = f
)(
p2 . id = g
)|
%
\just\equiv{ identity }
%
|lcbr(
p1 = f
)(
p2 = g
)|
\qed
\end{eqnarray*}
Os diagramas podem ser produzidos recorrendo à \emph{package} \LaTeX\
\href{https://ctan.org/pkg/xymatrix}{xymatrix}, por exemplo:
\begin{eqnarray*}
\xymatrix@@C=2cm{
|Nat0|
\ar[d]_-{|cataNat g|}
&
|1 + Nat0|
\ar[d]^{|id + (cataNat g)|}
\ar[l]_-{|inNat|}
\\
|B|
&
|1 + B|
\ar[l]^-{|g|}
}
\end{eqnarray*}
\section{Programação dinâmica por recursividade múltipla}\label{sec:recmul}
Neste anexo dão-se os detalhes da resolução do Exercício \ref{ex:exp} dos apontamentos da
disciplina\footnote{Cf.\ \cite{Ol18}, página \pageref{ex:exp}.},
onde se pretende implementar um ciclo que implemente
o cálculo da aproximação até |i=n| da função exponencial $exp\ x = e^x$,
via série de Taylor:
\begin{eqnarray}
exp\ x
& = &
\sum_{i=0}^{\infty} \frac {x^i} {i!}
\end{eqnarray}
Seja $e\ x\ n = \sum_{i=0}^{n} \frac {x^i} {i!}$ a função que dá essa aproximação.
É fácil de ver que |e x 0 = 1| e que $|e x (n+1)| = |e x n| + \frac {x^{n+1}} {(n+1)!}$.
Se definirmos $|h x n| = \frac {x^{n+1}} {(n+1)!}$ teremos |e x| e |h x| em recursividade
mútua. Se repetirmos o processo para |h x n| etc obteremos no total três funções nessa mesma
situação:
\begin{spec}
e x 0 = 1
e x (n+1) = h x n + e x n
h x 0 = x
h x (n+1) = x/(s n) * h x n
s 0 = 2
s (n+1) = 1 + s n
\end{spec}
Segundo a \emph{regra de algibeira} descrita na página \ref{pg:regra} deste enunciado,
ter-se-á, de imediato:
\begin{code}
e' x = prj . for loop init where
init = (1,x,2)
loop(e,h,s)=(h+e,x/s*h,1+s)
prj(e,h,s) = e
\end{code}
\section{Código fornecido}\label{sec:codigo}
\subsection*{Problema 1}
\begin{code}
expd :: Floating a => a -> a
expd = Prelude.exp
type OutExpAr a = Either () (Either a (Either (BinOp, (ExpAr a, ExpAr a)) (UnOp, ExpAr a)))
\end{code}
\subsection*{Problema 2}
Definição da série de Catalan usando factoriais (\ref{eq:cat}):
\begin{code}
catdef n = div (fac((2*n))) ((fac((n+1))*(fac n)))
\end{code}
Oráculo para inspecção dos primeiros 26 números de Catalan\footnote{Fonte:
\catalan{Wikipedia}.}:
\begin{code}
oracle = [
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,
35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020,
91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
]
\end{code}
\subsection*{Problema 3}
Algoritmo:
\begin{spec}
deCasteljau :: [NPoint] -> OverTime NPoint
deCasteljau [] = nil
deCasteljau [p] = const p
deCasteljau l = \pt -> (calcLine (p pt) (q pt)) pt where
p = deCasteljau (init l)
q = deCasteljau (tail l)
\end{spec}
Função auxiliar:
\begin{spec}
calcLine :: NPoint -> (NPoint -> OverTime NPoint)
calcLine [] = const nil
calcLine(p:x) = curry g p (calcLine x) where
g :: (Rational, NPoint -> OverTime NPoint) -> (NPoint -> OverTime NPoint)
g (d,f) l = case l of
[] -> nil
(x:xs) -> \z -> concat $ (sequenceA [singl . linear1d d x, f xs]) z
\end{spec}
2D:
\begin{code}
bezier2d :: [NPoint] -> OverTime (Float, Float)
bezier2d [] = const (0, 0)
bezier2d l = \z -> (fromRational >< fromRational) . (\[x, y] -> (x, y)) $ ((deCasteljau l) z)
\end{code}
Modelo:
\begin{code}
data World = World { points :: [NPoint]
, time :: Float
}
initW :: World
initW = World [] 0
tick :: Float -> World -> World
tick dt world = world { time=(time world) + dt }
actions :: Event -> World -> World
actions (EventKey (MouseButton LeftButton) Down _ p) world =
world {points=(points world) ++ [(\(x, y) -> map toRational [x, y]) p]}
actions (EventKey (SpecialKey KeyDelete) Down _ _) world =
world {points = cond (== []) id init (points world)}
actions _ world = world
scaleTime :: World -> Float
scaleTime w = (1 + cos (time w)) / 2
bezier2dAtTime :: World -> (Float, Float)
bezier2dAtTime w = (bezier2dAt w) (scaleTime w)
bezier2dAt :: World -> OverTime (Float, Float)
bezier2dAt w = bezier2d (points w)
thicCirc :: Picture
thicCirc = ThickCircle 4 10
ps :: [Float]
ps = map fromRational ps' where
ps' :: [Rational]
ps' = [0, 0.01..1] -- interval
\end{code}
Gloss:
\begin{code}
picture :: World -> Picture
picture world = Pictures
[ animateBezier (scaleTime world) (points world)
, Color white . Line . map (bezier2dAt world) $ ps
, Color blue . Pictures $ [Translate (fromRational x) (fromRational y) thicCirc | [x, y] <- points world]
, Color green $ Translate cx cy thicCirc
] where
(cx, cy) = bezier2dAtTime world
\end{code}
Animação:
\begin{code}
animateBezier :: Float -> [NPoint] -> Picture
animateBezier _ [] = Blank
animateBezier _ [_] = Blank
animateBezier t l = Pictures
[ animateBezier t (init l)
, animateBezier t (tail l)
, Color red . Line $ [a, b]
, Color orange $ Translate ax ay thicCirc
, Color orange $ Translate bx by thicCirc
] where
a@(ax, ay) = bezier2d (init l) t
b@(bx, by) = bezier2d (tail l) t
\end{code}
Propriedades e \emph{main}:
\begin{code}
runBezier :: IO ()
runBezier = play (InWindow "Bézier" (600, 600) (0, 0))
black 50 initW picture actions tick
runBezierSym :: IO ()
runBezierSym = quickCheckWith (stdArgs {maxSize = 20, maxSuccess = 200} ) prop_bezier_sym
\end{code}
Compilação e execução dentro do interpretador:\footnote{Pode ser útil em testes
envolvendo \gloss{Gloss}. Nesse caso, o teste em causa deve fazer parte de uma função
|main|.}
\begin{code}
main = runBezier
run = do { system "ghc cp2021t" ; system "./cp2021t" }
\end{code}
\subsection*{QuickCheck}
Código para geração de testes:
\begin{code}
instance Arbitrary UnOp where
arbitrary = elements [Negate, E]
instance Arbitrary BinOp where
arbitrary = elements [Sum, Product]
instance (Arbitrary a) => Arbitrary (ExpAr a) where
arbitrary = do
binop <- arbitrary
unop <- arbitrary
exp1 <- arbitrary
exp2 <- arbitrary
a <- arbitrary
frequency . map (id >< pure) $ [(20, X), (15, N a), (35, Bin binop exp1 exp2), (30, Un unop exp1)]
infixr 5 .=?=.
(.=?=.) :: Real a => a -> a -> Bool
(.=?=.) x y = (toRational x) == (toRational y)
\end{code}
\subsection*{Outras funções auxiliares}
%----------------- Outras definições auxiliares -------------------------------------------%
Lógicas:
\begin{code}
infixr 0 .==>.
(.==>.) :: (Testable prop) => (a -> Bool) -> (a -> prop) -> a -> Property
p .==>. f = \a -> p a ==> f a
infixr 0 .<==>.
(.<==>.) :: (a -> Bool) -> (a -> Bool) -> a -> Property
p .<==>. f = \a -> (p a ==> property (f a)) .&&. (f a ==> property (p a))
infixr 4 .==.
(.==.) :: Eq b => (a -> b) -> (a -> b) -> (a -> Bool)
f .==. g = \a -> f a == g a
infixr 4 .<=.
(.<=.) :: Ord b => (a -> b) -> (a -> b) -> (a -> Bool)
f .<=. g = \a -> f a <= g a
infixr 4 .&&&.
(.&&&.) :: (a -> Bool) -> (a -> Bool) -> (a -> Bool)
f .&&&. g = \a -> ((f a) && (g a))
\end{code}
%----------------- Soluções dos alunos -----------------------------------------%
\section{Soluções dos alunos}\label{sec:resolucao}
Os alunos devem colocar neste anexo as suas soluções para os exercícios
propostos, de acordo com o "layout" que se fornece. Não podem ser
alterados os nomes ou tipos das funções dadas, mas pode ser adicionado
texto, disgramas e/ou outras funções auxiliares que sejam necessárias.
Valoriza-se a escrita de \emph{pouco} código que corresponda a soluções
simples e elegantes.
\subsection*{Problema 1} \label{pg:P1}
São dadas:
\begin{code}