Démonstration lim simple de fonctions mesurable est mesurable

[boisgera]

Reprendre la preuve qui est fausse (équivalence $f(x) \in U$ et $f(x_k) \in U$ pour $k$ assez grand est fausse).

[boisgera]

On peut soit prendre la preuve (classique) de @lasellem (qui est sauf erreur celle qui marche pour montrer que lim inf de mesurable est mesurable), soit pour modifier le moins de choses possible "patcher" la preuve actuelle en disant que si les Uj forment une suite croissante d'ouverts de U compactement inclus dans U et dont l'union est U (facile à expliciter), alors f(x) est dans U si et seulement si il existe un j tel que f(xk) appartient à Uj pour k assez grand.

(Il suffit en faite de s'assurer que les f(xk) ne peuvent pas tendre vers la frontiere de U et c'est le caractere compactement inclus des Uk qui fait le trick).

Ca rajoute alors une "couche" d'opérations ensembliste dans l'expression de f^{-1}(U) (qui est similaire à ce qu'on voit dans la preuve des lim inf).