Probabilités II - Propriétés de base de l'espérance

[lasellem]

@boisgera @tromary
Hello,

J'ai l'impression que la phrase "les propriétés suivantes [de l'espérance] découlent directement des propriétés de l’intégrale" est un peu "de la triche", au sens où, par exemple, pour $E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)$, cela découle du fait que la somme de deux fonctions dans $L^1(dP)$ est encore dans $L^1(dP)$, et que $E(X) = \int_\Omega X(\omega) dP(\omega)$ ... ce n'est par contre pas du tout visible avec la définition qu'ils ont pour l'espérance, qui est $E(X) = \int_{\mathbb R} x f(x) dx$ (et ils n'ont pas la notion générale d'intégration contre une mesure de proba).
Si on cherche à le montrer avec leur définition de l'espérance, il faut d'abord voir qu'une somme de variables à densité est à densité, oui mais la densité de la somme n'a aucune expression fermée, et pouf bloqué ! (D'ailleurs, même dans un cas où on a une expression pour la somme -- par exemple X et Y indépendantes donne $f_{X+Y} = f_X \ast f_Y$, on ne s'en sort pas tellement plus, la convolution n'étant pas particulièrement sympa à traiter ici).

Tel quel, je serai d'avis de juste dire "on admet que", plutôt que la phrase actuelle qui laisse entendre (je trouve) que c'est une conséquence facile de leur cours de calcul intégral, et pourrait mener à une mauvaise interprétation (la linéarité de l'espérance vient de celle de l'intégrale contre une mesure (commune) quelconque, mais certainement pas d'une quelconque linéarité sur les fonctions densité vis-à-vis de Lebesgue ou autre).

Ou alors je suis passé à côté d'un truc tout bête ?

Lev-Arcady

P.S.: Désolé pour ceux qui ne compilent pas le LaTeX de tête, je n'ai pas trouvé comment rendre des maths dans une issue GitHub ... Est-ce possible ?

[tromary]

Salut,

Tu as raison, ça fait partie des points d'achoppement de ce cours de proba sans théorie de la mesure derrière. L'idée est qu'ils doivent connaître la propriété dans le cas discret et donc ils ne voient pas de difficulté à l'admettre dans le cas réel. Mais tu as raison, dans l'état, c'est de la triche.
Pour l'an prochain, on va se restreindre à des $\Omega = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$, ce qui devrait permettre de lever ce lièvre.
Dans le même ordre d'idée, on a le même type de problème avec la composition par une fonction mesurable. C'est vrai pour des fonctions boréliennes mais pas mesurable au sens de CI II.
Bon réflexe en tout cas de créer une issue là-dessus, c'est ce qu'on regarde en priorité pour les mises à jour, merci !

[boisgera]

Il y a un "grand débat" ;) sur le positionnement "cas général" vs cas à densité ; je crois que Thomas a essayé de convertir en partie le cas général de l'année dernière (qui avait des "trous conceptuels" techniques avec ce que les élèves avaient vu) vers le cas à densité pour patcher ça, sans faire le "grand soir" (pas gérable cette année).

Dans ce contexte, sur ce point précis, j'ai l'impression que l'hypothèse facile (qui rend vraiment le résultat "direct") serait : (X, Y) est un vecteur aléatoire à densité ; ou alors mieux (plus général et guère plus dur ici) : X et Y sont des fonctions d'un vecteur aléatoire U de R^d à densité (ce qui est le cadre "univers à densité" : on munit l'univers R^d d'une densité et on prend l'identité pour U et on a alors décrit toutes les variables aléatoires possibles).

Bref, ça ne change pas le pb à court terme car même la solution simple que j'envisage supposerait un réordonnancement des parties (vecteur plus tôt en même temps que valeur aléatoire ; ce qui est aussi à mon avis un truc pour le "grand soir"). A court terme on peut au moins virer le coté "c'est facile" ; éventuellement mettre une footnote ("si vous vous demandez, c'est pas évident") ou un renvoi vers un exercice embarqué le prouvant quand (X, Y) est à densité ou fonction d'une variable à densité.

Tu veux nous rédiger un patch @lasellem ? 😃

P.S. Aujourd'hui ces difficultés sont (partiellement) levées après Calcul Intégral IV. Mais c'est un chapitre qui passe mal ; le plan courant serait de le basculer en "tuto avancé" après cette année, donc de ne plus en dépendre.

RE P.S. Je ne crois pas qu'on puisse rendre des maths dans ces issues.

[lasellem]

Tu veux nous rédiger un patch @lasellem ? smiley

Je m'auto-assigne l'issue dans l'espoir que ça m'y fera penser :)