关于js Number的MAX_SAFE_INTEGER 和 MAX_VALUE

[doreenChenD]

前几天遇到一个问题，用“+”将一个数字字符串转成数字后，成功转成数字，但是数值不对了。查阅一下才发现Number还有MAX_SAFE_INTEGER 和 MAX_VALUE 的区别。

MAX_VALUE： JavaScript 中可表示的最大的数。它的近似值为 1.7976931348623157 x 10308。
MAX_SAFE_INTEGER：常量表示在 JavaScript 中最大的安全整数（maxinum safe integer)。

如果一个数字不是安全整数，那么在计算时，就会差生误差。

什么是最大安全整数？
他的“安全”意思是说能够one-by-one表示的整数，双精度数表示和整数是一一对应的，反过来说，在这个范围以内，所有的整数都有一个唯一的浮点数表示，这个浮点数也唯一表示一个对应的整数，这叫做安全整数。也就是说在计算机中，某个二进制串只表示一个数。最大安全整数范围：(-2^53, 2^53)

还是不明白？还有为什么是2^53次方呢？
这与浮点数的二进制表示有关。
根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

v = （-1）^s * M * 2^E

1. (-1)^s表示当前是正数还是负数，s为0 时，v为正数， s为1时，v为负数。
2. M 表示为有效数字， 比如 1010 可以表示为 1.01*2^3 这里的1.01就是有效数字M。1 ≤ M < 2。
3. 2^E表示指数位，E为2的指数值

举个栗子。十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

JavaScript中所有数字包括整数和小数都只有一种类型 — Number。它的实现遵循 IEEE 754 标准，使用64位固定长度来表示，也就是标准的 double 双精度浮点数。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

IEEE 754对于E 和 M还有一些规定：

关于M：
因为M的范围为 1 ≤ M < 2， 所以 M的个位数必定为1， 即M = 1.XXXXXX 。所以IEEE 754 规定M的第一位不需要保存。在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。

比如保存1.01时，只保存01 ，在读取的时候才加上1. 这样可以节省1位有效数字。
所以64位的浮点数虽然只有52位用来M 其实最大可以表示53位的 M。

关于E：

1. 首先，E是一个无符号整数。所以双精度浮点数，E有11位，范围为 0 ~ 2^11-1，即 0 ~ 2047。但是科学计数法中E可以为负数。所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于11位的E，这个中间数是1023。
   比如，2^10的E是10，所以保存成64位浮点数时，必须保存成10+1023 =1033，即10000001001。

2.然后，指数E还可以再分成三种情况：

（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去1023，得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-1023，有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

回归正题，为什么Number的最大安全整数为2^53 -1 ？
回顾一下浮点数的表示：

v = （-1）^s * M * 2^E;

首先让 s=0， v = M * 2^E;
因为64位的浮点数，用52位去表示M，再加上 M 默认节省的一位， 所以M最大为 1. 111...111 总共53个1，当指数值E= 52时，得到一个最大的 数字。 2^53-1。
如果超过这个数值, 我们只能通过增大指数 E 来使 v 变大。 比如 2^53 ， 则表示为 1.0000...00 * 2 ^53（M为52个0，E = 53）。
但是 2^53 + 1 同样表示为 1.0000...00* 2 ^53（M为52个0，E = 53）。 因为 1.0000...01* 2 ^53（M为51个0 ，1个1，E = 53），表示为 2^53 + 2。 1.0000...00* 2 ^53（M为52个0，E = 53） 其实表示了2个数字 。2^53(9007199254740992) 和 2^ 53 +1(9007199254740993)。所以当我们+ ' 9007199254740993 ' 时，得到的数字是9007199254740992。

还不明白？
那缩小范围 如果计算机用2位来储存 M， 即M最大为 1.11。 那么 E = 2时 我们得到最大的数 111，还想变大 则只能让 E=3，此时得到 1000 (1.00 *2^3)，而此时计算机 能表示的下一个数字是 1010( 1.01 * 2^ 3)， 无法表示1001， 所以 1001对应的数字在计算机内也只能表示为 1000, 这样就会造成计算误差。

所以js中Number的最大安全数字为 2^53 -1.
可以使用Number.isSafeInteger（） 判断当前数字是否是安全数字。

参考文章：
阮一峰——浮点数的二进制表示