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#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Title
背包问题九讲 2.0 beta1.2
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\begin_layout Author
崔添翼 (Tianyi Cui)
\begin_inset Foot
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\end_inset
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\begin_layout Standard
本文题为《背包问题九讲》，从属于《动态规划的思考艺术》系列。
\end_layout
\begin_layout Standard
这系列文章的
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "第一版"
target "http://love-oriented.com/pack/"
\end_inset
于2007年下半年使用EmacsMuse制作，以HTML格式发布到网上，转载众多，有一定影响力。
\end_layout
\begin_layout Standard
2011年9月，本系列文章由原作者用LaTeX重新制作并全面修订，您现在看到的是2.0 beta版本，修订历史及最新版本请访问
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
target "https://github.com/tianyicui/pack"
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查阅。
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\begin_layout Standard
本文版权归原作者所有，采用
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "CC BY-NC-SA"
target "http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/"
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协议发布。
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\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:01背包问题"
\end_inset
01背包问题
\end_layout
\begin_layout Subsection
题目
\end_layout
\begin_layout Standard
有
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
件物品和一个容量为
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
的背包。放入第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品耗费的费用是
\begin_inset Formula $C_{i}$
\end_inset
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
也即占用背包的空间容量，后文统一称之为“费用(cost)”
\end_layout
\end_inset
，得到的价值是
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset
。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
\end_layout
\begin_layout Subsection
基本思路
\end_layout
\begin_layout Standard
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
\end_layout
\begin_layout Standard
用子问题定义状态：即
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
表示前
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品恰放入一个容量为
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\[
F[i,v]=\mathrm{max}\{F[i-1,v],F[i-1,v-C_{i}]+W_{i}\}
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品放入容量为
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
的背包中”这个子问题，若只考虑第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前
\begin_inset Formula $i-1$
\end_inset
件物品相关的问题。如果不放第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品，那么问题就转化为“前
\begin_inset Formula $i-1$
\end_inset
件物品放入容量为
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
的背包中”，价值为
\begin_inset Formula $F[i-1,v]$
\end_inset
；如果放第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品，那么问题就转化为“前
\begin_inset Formula $i-1$
\end_inset
件物品放入剩下的容量为
\begin_inset Formula $v-C_{i}$
\end_inset
的背包中”，此时能获得的最大价值就是
\begin_inset Formula $F[i-1,v-C_{i}]$
\end_inset
再加上通过放入第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
件物品获得的价值
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset
。
\end_layout
\begin_layout Standard
伪代码如下：
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $F[0,0..V]\,\leftarrow0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $i\,\leftarrow1$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow C_{i}$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $F[i,v]\,\leftarrow\mathrm{max}\{F[i-1,v],F[i-1,v-C_{i}]+W_{i}\}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
优化空间复杂度
\end_layout
\begin_layout Standard
以上方法的时间和空间复杂度均为
\begin_inset Formula $O(VN)$
\end_inset
，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到
\begin_inset Formula $O(V)$
\end_inset
。
\end_layout
\begin_layout Standard
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环
\begin_inset Formula $i\text{\,}\leftarrow1\ldots N$
\end_inset
，每次算出来二维数组
\begin_inset Formula $F[i,0\ldots V]$
\end_inset
的所有值。那么，如果只用一个数组
\begin_inset Formula $F[0\ldots V]$
\end_inset
，能不能保证第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
次循环结束后
\begin_inset Formula $F[v]$
\end_inset
中表示的就是我们定义的状态
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
呢？
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
是由
\begin_inset Formula $F[i-1,v]$
\end_inset
和
\begin_inset Formula $F[i-1,v-C_{i}]$
\end_inset
两个子问题递推而来，能否保证在推
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
时（也即在第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
次主循环中推
\begin_inset Formula $F[v]$
\end_inset
时）能够取用
\begin_inset Formula $F[i-1,v]$
\end_inset
和
\begin_inset Formula $F[i-1,v-C_{i}]$
\end_inset
的值呢？
\end_layout
\begin_layout Standard
事实上，这要求在每次主循环中我们以
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow V\ldots0$
\end_inset
的递减顺序计算
\begin_inset Formula $F[v]$
\end_inset
，这样才能保证计算
\begin_inset Formula $F[v]$
\end_inset
时
\begin_inset Formula $F[v-C_{i}]$
\end_inset
保存的是状态
\begin_inset Formula $F[i-1,v-C_{i]}$
\end_inset
的值。伪代码如下：
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $F[0..V]\text{\,\leftarrow}0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $i\,\leftarrow1$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow V$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $C_{i}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $F[v]\,\leftarrow\mathrm{max}\{F[v],F[v-C_{i}]+W_{i}\}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
其中的
\begin_inset Formula $F[v]\,\leftarrow\mathrm{max}\{F[v],F[v-C_{i}]+W_{i}\}$
\end_inset
一句，恰就对应于我们原来的转移方程，因为现在的
\begin_inset Formula $F[v-C_{i}]$
\end_inset
就相当于原来的
\begin_inset Formula $F[i-1,v-C_{i}]$
\end_inset
。如果将
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
由
\begin_inset Formula $F[i,v-C_{i}]$
\end_inset
推导得到，与本题意不符。
\end_layout
\begin_layout Standard
事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
def
\begin_inset Formula $\mathsf{ZeroOnePack}$
\end_inset
(
\begin_inset Formula $F,C,W$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow V$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $ $
\end_inset
\begin_inset Formula $F[v]\,\leftarrow\mathrm{max}(F[v],F[v-C]+W)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $F[0..V]\text{\,\leftarrow}0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $i\,\leftarrow1$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
\begin_inset Formula $\mathsf{ZeroOnePack}$
\end_inset
(
\begin_inset Formula $F,C_{i},W_{i}$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Subsection
初始化的细节问题
\end_layout
\begin_layout Standard
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的
实现方法是在初始化的时候有所不同。
\end_layout
\begin_layout Standard
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了
\begin_inset Formula $F[0]$
\end_inset
为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
，其它
\begin_inset Formula $F[1..V]$
\end_inset
均设为
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset
，这样就可以保证最终得到的
\begin_inset Formula $F[V]$
\end_inset
是一种恰好装满背包的最优解。
\end_layout
\begin_layout Standard
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将
\begin_inset Formula $F[0..V]$
\end_inset
全部设为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
。
\end_layout
\begin_layout Standard
这是为什么呢？可以这样理解：初始化的
\begin_inset Formula $F$
\end_inset
数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
的背包可以在什么也不装且价值为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装
”，这个解的价值为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
，所以初始时状态的值也就全部为
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
了。
\end_layout
\begin_layout Standard
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
\end_layout
\begin_layout Subsection
一个常数优化
\end_layout
\begin_layout Standard
上面伪代码中的
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $i\,\leftarrow1$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow V$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $C_{i}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
中第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $i\,\leftarrow1$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout LyX-Code
for
\begin_inset Formula $v\,\leftarrow V$
\end_inset
to
\begin_inset Formula $\mathrm{max}(V-\Sigma_{i}^{N}W_{i},C_{i})$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
这个优化之所以成立的原因请读者自己思考。（提示：使用二维的转移方程思考较易。）
\end_layout
\begin_layout Subsection
小结
\end_layout
\begin_layout Standard
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想。另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本
思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及空间复杂度怎样被优化。
\end_layout
\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:完全背包问题"
\end_inset
完全背包问题
\end_layout
\begin_layout Subsection
题目
\end_layout
\begin_layout Standard
有
\begin_inset Formula $N$
\end_inset
种物品和一个容量为
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
的背包，每种物品都有无限件可用。放入第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
种物品的费用是
\begin_inset Formula $C_{i}$
\end_inset
，价值是
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset
。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
\end_layout
\begin_layout Subsection
基本思路
\end_layout
\begin_layout Standard
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
件、取
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
件、取
\begin_inset Formula $2$
\end_inset
件……直至取
\begin_inset Formula $\left\lfloor V/C_{i}\right\rfloor $
\end_inset
件等许多种。
\end_layout
\begin_layout Standard
如果仍然按照解01背包时的思路，令
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
表示前
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
种物品恰放入一个容量为
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\[
F[i,v]=\mathrm{max}\{F[i-1,v-kC_{i}]+kW_{i}\:|\:0\leq kC_{i}\leq v\}
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
这跟01背包问题一样有
\begin_inset Formula $O(VN)$
\end_inset
个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态
\begin_inset Formula $F[i,v]$
\end_inset
的时间是
\begin_inset Formula $O(\frac{v}{C_{i}})$
\end_inset
，总的复杂度可以认为是
\begin_inset Formula $O(NV\Sigma{\frac{{V}}{C_{i}}})$
\end_inset
，是比较大的。
\end_layout
\begin_layout Standard
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是要试图改进这个复杂度。
\end_layout
\begin_layout Subsection
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:一个简单有效的优化"
\end_inset
一个简单有效的优化
\end_layout
\begin_layout Standard
完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
、
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
满足
\begin_inset Formula $C_{i}\leq C_{j}$
\end_inset
且
\begin_inset Formula $W_{i}\geq W_{j}$
\end_inset
，则将可以将物品
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
直接去掉，不用考虑。
\end_layout
\begin_layout Standard
这个优化的正确性是显然的：任何情况下都可将价值小费用高的
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
换成物美价廉的
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
，得到的方案至少不会更差。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一
件物品也去不掉。
\end_layout
\begin_layout Standard
这个优化可以简单的
\begin_inset Formula $O(N^{2})$
\end_inset
地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以
\begin_inset Formula $O(V+N)$
\end_inset
地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。
\end_layout
\begin_layout Subsection
转化为01背包问题求解
\end_layout
\begin_layout Standard
01背包问题是最基本的背包问题，我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。
\end_layout
\begin_layout Standard
最简单的想法是，考虑到第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
种物品最多选
\begin_inset Formula $\left\lfloor V/C_{i}\right\rfloor $
\end_inset
件，于是可以把第i种物品转化为
\begin_inset Formula $\left\lfloor V/C_{i}\right\rfloor $
\end_inset
件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样的做法完全没有改进时间复杂度，但这种方法也指明了将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多
件只能选
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
件或
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
件的01背包中的物品。
\end_layout
\begin_layout Standard
更高效的转化方法是：把第
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
种物品拆成费用为
\begin_inset Formula $C_{i}2^{k}$
\end_inset
、价值为
\begin_inset Formula $W_{i}2^{k}$
\end_inset
的若干件物品，其中
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
取遍满足
\begin_inset Formula $C_{i}2^{k}\leq V$
\end_inset
的非负整数。
\end_layout
\begin_layout Standard