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text-3xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog">makenowjust-labs/blog</a></h1><p class="text-lg text-stone-800">MakeNowJust Laboratory Tech Blog</p></div></div></section><main class="mx-auto min-h-screen max-w-3xl p-2 lg:px-0"><div class="py-5 pr-4"><h2 class="pb-5 text-2xl font-bold text-stone-900">概要</h2><div class="text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8"><p><a href="https://github.com/makenowjust">@makenowjust</a> <!-- -->の技術ブログです。</p><p>オートマトン理論や形式言語などの情報科学的なことや、JavaScript (フロントエンド) や Scala などの技術について書きます。</p><p>リポジトリ:<!-- --> <a href="https://github.com/makenowjust-labs/blog">https://github.com/makenowjust-labs/blog</a></p></div></div><h2 class="text-2xl font-bold text-stone-900">記事</h2><div class="border-b-2 py-5 pr-4"><h2 class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog/post/2023-07-19-lstar">L*について説明してみる</a></h2><div class="prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8"><p>Automata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。
+<!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="MakeNowJust Laboratory Tech Blog"/><meta property="og:title" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/"/><meta property="og:description" content="MakeNowJust Laboratory Tech Blog"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="blog"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/cover.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" 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38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 22.9 17 46.4 0 33.7-.3 75.4-.3 83.6 0 6.5 4.6 14.4 17.3 12.1C428.2 457.8 496 362.9 496 252 496 113.3 383.5 8 244.8 8zM97.2 352.9c-1.3 1-1 3.3.7 5.2 1.6 1.6 3.9 2.3 5.2 1 1.3-1 1-3.3-.7-5.2-1.6-1.6-3.9-2.3-5.2-1zm-10.8-8.1c-.7 1.3.3 2.9 2.3 3.9 1.6 1 3.6.7 4.3-.7.7-1.3-.3-2.9-2.3-3.9-2-.6-3.6-.3-4.3.7zm32.4 35.6c-1.6 1.3-1 4.3 1.3 6.2 2.3 2.3 5.2 2.6 6.5 1 1.3-1.3.7-4.3-1.3-6.2-2.2-2.3-5.2-2.6-6.5-1zm-11.4-14.7c-1.6 1-1.6 3.6 0 5.9 1.6 2.3 4.3 3.3 5.6 2.3 1.6-1.3 1.6-3.9 0-6.2-1.4-2.3-4-3.3-5.6-2z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div></header><section class="hero"><div class="hero-content"><div class="max-w-md text-center"><h1 class="pb-5 text-3xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog">makenowjust-labs/blog</a></h1><p class="text-lg text-stone-800">MakeNowJust Laboratory Tech Blog</p></div></div></section><main class="mx-auto min-h-screen max-w-3xl p-2 lg:px-0"><div class="py-5 pr-4"><h2 class="pb-5 text-2xl font-bold text-stone-900">概要</h2><div class="text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8"><p><a href="https://github.com/makenowjust">@makenowjust</a> <!-- -->の技術ブログです。</p><p>オートマトン理論や形式言語などの情報科学的なことや、JavaScript (フロントエンド) や Scala などの技術について書きます。</p><p>リポジトリ:<!-- --> <a href="https://github.com/makenowjust-labs/blog">https://github.com/makenowjust-labs/blog</a></p></div></div><h2 class="text-2xl font-bold text-stone-900">記事</h2><div class="border-b-2 py-5 pr-4"><h2 class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog/post/2023-07-19-lstar">L*について説明してみる</a></h2><div class="prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8"><p>Automata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。
 これは、仕様が形式化されていないシステムに対して形式的な手法を適用するための足掛りになるなど、近年重要な技術となっています。</p>
 <p>Angluin による<eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>∗</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L\ast</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord">∗</span></span></span></span></eq><a href="#cite1">[1]</a>は Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。
 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>∗</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L\ast</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord">∗</span></span></span></span></eq>は未知の正規言語を教師を使って学習するアルゴリズムで、多くの Automata Learning の基礎となっています。</p>
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 <p>以前 Qiita でこのアルゴリズムでどうして DFA の最小化が行なえるのかを説明したのですが(<a href="https://qiita.com/make_now_just/items/471d272442803796e37a">Brzozowski のアルゴリズム - なぜ DFA を 2 回反転すると最小化できるのか
 </a>)、これによって構成される DFA がどのようなものなのかは説明していませんでした。
 今回のこの記事では、Brozozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを別の角度から少し解説したいと思います。</p>
-</div><div class="pb-5 pl-8 text-center"><a class="btn btn-ghost btn-block normal-case" href="/blog/post/2021-03-19-brozozowski-algorithm">この記事を読む</a></div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2021-03-19</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 0-30.1-.9-45.1-3.2-18.7-2.6-37-6-56-6-46.8 0-73.5 38.7-73.5 82.6 0 87.8 80.4 101.3 150.4 101.3h48.2c70.3 0 150.6-13.4 150.6-101.3zm-82.6-55.1c-25.8 0-36.7 34.2-36.7 55.1s10.9 55.1 36.7 55.1 36.7-34.2 36.7-55.1-10.9-55.1-36.7-55.1z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"posts":[{"title":"L*について説明してみる","slug":"2023-07-19-lstar","created":"2023-07-19","excerpt":"\u003cp\u003eAutomata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。\nこれは、仕様が形式化されていないシステムに対して形式的な手法を適用するための足掛りになるなど、近年重要な技術となっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eAngluin による\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003ca href=\"#cite1\"\u003e[1]\u003c/a\u003eは Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの、その原理やアルゴリズムの詳細について解説します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"OGP 画像の自動生成をする","slug":"2022-04-25-og-image","created":"2022-04-25","excerpt":"\u003cp\u003e前々から課題として感じていた、このブログの OGP 画像の自動生成を実装しました。\nOGP 画像は Twitter などの SNS にシェアするときに表示される画像です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では自動生成の実装や、\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e といったライブラリを利用して、タイトルの自動改行や高速な生成を実現したので、それらについても解説します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術","slug":"2022-03-21-javascript-crush","created":"2022-03-21","excerpt":"\u003cp\u003eJavaScript のソースコードを小さくする方法として \u003ca href=\"https://github.com/mishoo/UglifyJS\"\u003eUglifyJS\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/terser/terser\"\u003eTerser\u003c/a\u003e といった minification ツールを用いるものが良く知られています。\nこれらはソースコード中の空白やコメントを削除し、変数名などを短い形式にすることで、ソースコードを小さくしています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった minification ツールを適用し、さらに GZip などで圧縮して配信するのが今日の Web での標準的な方法となっています。\nですが、JavaScript を圧縮できる可能性のある方法として、自己解凍的な圧縮技術を用いる、というアイディアがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、そういった自己解凍的な圧縮技術として \u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e について紹介します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"ブログを Next.js へ移行しました","slug":"2022-03-11-move-to-next-js","created":"2022-03-11","excerpt":"\u003cp\u003e元々は GatsbyJS で作られていたこのブログを、Next.js で書き直して復活させました。\n放置している間にもいくつか記事にしたい事柄があったのですが、元の仕組みでは記事を書く気が起きず、結果的に 1 年近く放置することになってしまいました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では「なぜ GatsbyJS から移行したのか」と「他のフレームワークを比較した結果」、そして「最終的な技術スタック」について説明します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"Hopcroft のアルゴリズムについて","slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm","created":"2021-04-02","excerpt":"\u003cp\u003e前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。\n今回は、別の最小化アルゴリズムとして Hopcroft のアルゴリズムについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://www.amazon.co.jp/dp/B00IZ0LLDW\"\u003e\u0026quot;Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation\u0026quot;\u003c/a\u003e (日本語訳『オートマトン 言語理論 計算論』) の著者の一人として知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hopcroft\"\u003eJohn Hopcroft\u003c/a\u003e が 1971 年に発表したアルゴリズムです。\n実装を工夫することで最悪計算量は DFA の状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となることが知られています。\nしかし、正当さがやや直感的でないことから、オートマトン理論の教科書や講義などで触れられる機会は少ないように思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、Hopcroft のアルゴリズムの実装に加えて、その正しさの証明や計算量の解析を行います。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか","slug":"2021-03-19-brozozowski-algorithm","created":"2021-03-19","excerpt":"\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA とすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する最小 DFA となります。\nここで \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e というのは部分集合構成法による決定化の処理で、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA の各遷移と初期状態・受理状態を反対にして NFA を求める処理を表します。\nこの 2 回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは \u003cstrong\u003eBrozozowski のアルゴリズム\u003c/strong\u003e として知られています。\nBrzozowski 微分などで知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Janusz_Brzozowski_(computer_scientist)\"\u003eJanusz Brzozowski\u003c/a\u003e が 1960 年代に発表したアルゴリズムです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以前 Qiita でこのアルゴリズムでどうして DFA の最小化が行なえるのかを説明したのですが(\u003ca href=\"https://qiita.com/make_now_just/items/471d272442803796e37a\"\u003eBrzozowski のアルゴリズム - なぜ DFA を 2 回反転すると最小化できるのか\n\u003c/a\u003e)、これによって構成される DFA がどのようなものなのかは説明していませんでした。\n今回のこの記事では、Brozozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを別の角度から少し解説したいと思います。\u003c/p\u003e\n"}]},"__N_SSG":true},"page":"/","query":{},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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+</div><div class="pb-5 pl-8 text-center"><a class="btn btn-ghost btn-block normal-case" href="/blog/post/2021-03-19-brozozowski-algorithm">この記事を読む</a></div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2021-03-19</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 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class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003ca href=\"#cite1\"\u003e[1]\u003c/a\u003eは Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath 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href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e といったライブラリを利用して、タイトルの自動改行や高速な生成を実現したので、それらについても解説します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術","slug":"2022-03-21-javascript-crush","created":"2022-03-21","excerpt":"\u003cp\u003eJavaScript のソースコードを小さくする方法として \u003ca href=\"https://github.com/mishoo/UglifyJS\"\u003eUglifyJS\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/terser/terser\"\u003eTerser\u003c/a\u003e といった minification ツールを用いるものが良く知られています。\nこれらはソースコード中の空白やコメントを削除し、変数名などを短い形式にすることで、ソースコードを小さくしています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった minification ツールを適用し、さらに GZip などで圧縮して配信するのが今日の Web での標準的な方法となっています。\nですが、JavaScript を圧縮できる可能性のある方法として、自己解凍的な圧縮技術を用いる、というアイディアがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、そういった自己解凍的な圧縮技術として \u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e について紹介します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"ブログを Next.js へ移行しました","slug":"2022-03-11-move-to-next-js","created":"2022-03-11","excerpt":"\u003cp\u003e元々は GatsbyJS で作られていたこのブログを、Next.js で書き直して復活させました。\n放置している間にもいくつか記事にしたい事柄があったのですが、元の仕組みでは記事を書く気が起きず、結果的に 1 年近く放置することになってしまいました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では「なぜ GatsbyJS から移行したのか」と「他のフレームワークを比較した結果」、そして「最終的な技術スタック」について説明します。\u003c/p\u003e\n"},{"title":"Hopcroft のアルゴリズムについて","slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm","created":"2021-04-02","excerpt":"\u003cp\u003e前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。\n今回は、別の最小化アルゴリズムとして Hopcroft のアルゴリズムについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://www.amazon.co.jp/dp/B00IZ0LLDW\"\u003e\u0026quot;Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation\u0026quot;\u003c/a\u003e (日本語訳『オートマトン 言語理論 計算論』) の著者の一人として知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hopcroft\"\u003eJohn Hopcroft\u003c/a\u003e が 1971 年に発表したアルゴリズムです。\n実装を工夫することで最悪計算量は DFA の状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" 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class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA とすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation 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aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA の各遷移と初期状態・受理状態を反対にして NFA を求める処理を表します。\nこの 2 回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは \u003cstrong\u003eBrozozowski のアルゴリズム\u003c/strong\u003e として知られています。\nBrzozowski 微分などで知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Janusz_Brzozowski_(computer_scientist)\"\u003eJanusz Brzozowski\u003c/a\u003e が 1960 年代に発表したアルゴリズムです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以前 Qiita でこのアルゴリズムでどうして DFA の最小化が行なえるのかを説明したのですが(\u003ca href=\"https://qiita.com/make_now_just/items/471d272442803796e37a\"\u003eBrzozowski のアルゴリズム - なぜ DFA を 2 回反転すると最小化できるのか\n\u003c/a\u003e)、これによって構成される DFA がどのようなものなのかは説明していませんでした。\n今回のこの記事では、Brozozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを別の角度から少し解説したいと思います。\u003c/p\u003e\n"}]},"__N_SSG":true},"page":"/","query":{},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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 <!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="2回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは Brzozowski のアルゴリズムとして知られています。
 この記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを解説します。"/><meta property="og:title" content="Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-03-19-brozozowski-algorithm"/><meta property="og:description" content="2回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは Brzozowski のアルゴリズムとして知られています。
-この記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを解説します。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-03-19-brozozowski-algorithm.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 22.9 17 46.4 0 33.7-.3 75.4-.3 83.6 0 6.5 4.6 14.4 17.3 12.1C428.2 457.8 496 362.9 496 252 496 113.3 383.5 8 244.8 8zM97.2 352.9c-1.3 1-1 3.3.7 5.2 1.6 1.6 3.9 2.3 5.2 1 1.3-1 1-3.3-.7-5.2-1.6-1.6-3.9-2.3-5.2-1zm-10.8-8.1c-.7 1.3.3 2.9 2.3 3.9 1.6 1 3.6.7 4.3-.7.7-1.3-.3-2.9-2.3-3.9-2-.6-3.6-.3-4.3.7zm32.4 35.6c-1.6 1.3-1 4.3 1.3 6.2 2.3 2.3 5.2 2.6 6.5 1 1.3-1.3.7-4.3-1.3-6.2-2.2-2.3-5.2-2.6-6.5-1zm-11.4-14.7c-1.6 1-1.6 3.6 0 5.9 1.6 2.3 4.3 3.3 5.6 2.3 1.6-1.3 1.6-3.9 0-6.2-1.4-2.3-4-3.3-5.6-2z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div></header><section class="hero"><div class="hero-content"><div class="max-w-md text-center"><h1 class="pb-5 text-3xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog">makenowjust-labs/blog</a></h1><p class="text-lg text-stone-800">MakeNowJust Laboratory Tech Blog</p></div></div></section><main class="mx-auto min-h-screen max-w-3xl p-2 lg:px-0"><div class="border-b-2 pb-5"><h1 class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p><eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span></eq> を言語 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span></eq> を受理する DFA とすると、<eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D(R(D(R(A))))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">))))</span></span></span></span></eq> は言語 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span></eq> を受理する最小 DFA となります。
+この記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを解説します。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-03-19-brozozowski-algorithm.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 22.9 17 46.4 0 33.7-.3 75.4-.3 83.6 0 6.5 4.6 14.4 17.3 12.1C428.2 457.8 496 362.9 496 252 496 113.3 383.5 8 244.8 8zM97.2 352.9c-1.3 1-1 3.3.7 5.2 1.6 1.6 3.9 2.3 5.2 1 1.3-1 1-3.3-.7-5.2-1.6-1.6-3.9-2.3-5.2-1zm-10.8-8.1c-.7 1.3.3 2.9 2.3 3.9 1.6 1 3.6.7 4.3-.7.7-1.3-.3-2.9-2.3-3.9-2-.6-3.6-.3-4.3.7zm32.4 35.6c-1.6 1.3-1 4.3 1.3 6.2 2.3 2.3 5.2 2.6 6.5 1 1.3-1.3.7-4.3-1.3-6.2-2.2-2.3-5.2-2.6-6.5-1zm-11.4-14.7c-1.6 1-1.6 3.6 0 5.9 1.6 2.3 4.3 3.3 5.6 2.3 1.6-1.3 1.6-3.9 0-6.2-1.4-2.3-4-3.3-5.6-2z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div></header><section class="hero"><div class="hero-content"><div class="max-w-md text-center"><h1 class="pb-5 text-3xl font-bold text-stone-900"><a class="hover:cursor-pointer hover:underline" href="/blog">makenowjust-labs/blog</a></h1><p class="text-lg text-stone-800">MakeNowJust Laboratory Tech Blog</p></div></div></section><main class="mx-auto min-h-screen max-w-3xl p-2 lg:px-0"><div class="border-b-2 pb-5"><h1 class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p><eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span></eq> を言語 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span></eq> を受理する DFA とすると、<eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D(R(D(R(A))))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">))))</span></span></span></span></eq> は言語 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span></eq> を受理する最小 DFA となります。
 ここで <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D(A)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></eq> というのは部分集合構成法による決定化の処理で、<eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">R(A)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></eq> は DFA の各遷移と初期状態・受理状態を反対にして NFA を求める処理を表します。
 この 2 回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは <strong>Brozozowski のアルゴリズム</strong> として知られています。
 Brzozowski 微分などで知られる <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Janusz_Brzozowski_(computer_scientist)">Janusz Brzozowski</a> が 1960 年代に発表したアルゴリズムです。</p>
@@ -107,4 +107,4 @@ <h1>まとめ</h1>
 さらに、最初の決定化をアトミックな NFA を求める処理 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">At(A)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></eq> にする (つまり <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D(R(At(R(A)))))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)))))</span></span></span></span></eq>) ことで、<a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397513001965">多項式時間で最小 DFA を求められる</a> ことが知られています。
 この辺りの話も色々と興味深いので、いつか解説したいです。</p>
 <p>それでは、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。</p>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2021-03-19</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 0-30.1-.9-45.1-3.2-18.7-2.6-37-6-56-6-46.8 0-73.5 38.7-73.5 82.6 0 87.8 80.4 101.3 150.4 101.3h48.2c70.3 0 150.6-13.4 150.6-101.3zm-82.6-55.1c-25.8 0-36.7 34.2-36.7 55.1s10.9 55.1 36.7 55.1 36.7-34.2 36.7-55.1-10.9-55.1-36.7-55.1z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2021-03-19-brozozowski-algorithm","title":"Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか","created":"2021-03-19","description":"2回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは Brzozowski のアルゴリズムとして知られています。\nこの記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを解説します。","content":"\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA とすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する最小 DFA となります。\nここで \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e というのは部分集合構成法による決定化の処理で、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA の各遷移と初期状態・受理状態を反対にして NFA を求める処理を表します。\nこの 2 回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは \u003cstrong\u003eBrozozowski のアルゴリズム\u003c/strong\u003e として知られています。\nBrzozowski 微分などで知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Janusz_Brzozowski_(computer_scientist)\"\u003eJanusz Brzozowski\u003c/a\u003e が 1960 年代に発表したアルゴリズムです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以前 Qiita でこのアルゴリズムでどうして DFA の最小化が行なえるのかを説明したのですが(\u003ca href=\"https://qiita.com/make_now_just/items/471d272442803796e37a\"\u003eBrzozowski のアルゴリズム - なぜ DFA を 2 回反転すると最小化できるのか\n\u003c/a\u003e)、これによって構成される DFA がどのようなものなのかは説明していませんでした。\n今回のこの記事では、Brozozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを別の角度から少し解説したいと思います。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e解説\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事で説明する内容は、次の参考文献の「3. Brzozowski's algorithm」の内容を元にしています。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003eGarcıa, P., D. López, and M. Vázquez de Parga. DFA minimization: from Brzozowski to Hopcroft. Technical report, Universidad Politécnica de Valencia. Informes técnicos de investigación DSIC-TLCC, 2013. (\u003ca href=\"https://m.riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/27623/partial%20rev%20determ.pdf\"\u003ePDF\u003c/a\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003ch2\u003e準備\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を集合として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eS\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれるとき \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex \\subseteq X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7719em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の部分集合であるとき \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY \\subseteq X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX, Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX \\cap Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の共通部分、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX \\cup Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∪\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の和集合を表します。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のすべての部分集合全体からなる集合を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(X)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n空集合は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e有限の集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をアルファベットとして、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を有限個並べたもの全体からなる集合を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を文字、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を文字列と呼びます。\n2 つの文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ev\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eu, v \\in \\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eu\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を順番に並べたものを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ev\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eu \\cdot v\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4445em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eu\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の並びを逆向きにしたもの (リバースしたもの) を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表し、文字列の集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれるすべての文字列をリバースしたものを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n空文字列は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\varepsilon\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e5 タプル \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(Q, \\Sigma, \\delta, I, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を NFA (非決定性有限状態オートマトン) と呼びます。\nここで \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は状態の有限集合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e はアルファベット、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e:\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e→\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta : Q \\times \\Sigma \\to \\mathscr{P}(Q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e×\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e→\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は遷移関数、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eI \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は初期状態の集合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は受理状態の集合です。\n状態の部分集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して拡張した遷移関数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_D(P, \\sigma) = \\bigcup_{p \\in P}  \\delta(p, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1858em;vertical-align:-0.4358em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1786em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.4358em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義して、さらに文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して拡張した遷移関数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta^\\ast(P, \\varepsilon) = P,\\ \\delta^\\ast(P, \\sigma w) = \\delta^\\ast(\\delta_D(P, \\sigma), w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義します。\nこのとき状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{I, q} = \\{ w \\in \\Sigma^\\ast\\ |\\ q \\in \\delta^\\ast(I, w) \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" 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class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の左言語、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{q, F} = \\{ w \\in \\Sigma^\\ast\\ |\\ \\delta^\\ast(\\{ q \\}, w) \\cap F \\ne \\varnothing \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e({\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の右言語とします。\n状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について左言語が空ではないものを到達可能な状態と呼び、すべての状態が到達可能なときその NFA を到達可能な NFA と呼びます。\n初期状態の右言語の和集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\bigcup_{q \\in I} L_{q, F}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1858em;vertical-align:-0.4358em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1786em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.4358em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を NFA の受理する言語と呼びます。\n2 つの NFA のそれぞれの値が等しいとき、2 つの NFA を構造的に等しいといいます。\nさらに、NFA の初期状態がちょうど 1 つで、遷移関数の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が高々 1 つのとき、その NFA を DFA (決定性有限状態オートマトン) と呼び、NFA に関する用語は DFA に対しても同様に用いられます。\n誤解がない場合、DFA のただ 1 つの初期状態を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、遷移関数の遷移先を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のように表記する場合があります。\n言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA の各状態の右言語が互いに異なるとき、その DFA を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の最小 DFA と呼びます。\n今回の記事で扱う NFA・DFA はすべて到達可能なものとします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eDFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA = (Q, \\Sigma, \\delta, q_0, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A) = (Q, \\Sigma, \\delta_R, F, \\{ q_0 \\})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e})\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした NFA とします。\nここで遷移関数は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_R(p, \\sigma) = \\{ q \\in Q \\ |\\ \\delta(q, a) = p \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義されます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語は元の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eNFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A) = (\\mathscr{R}, \\Sigma, \\delta_D, I, F_D)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を決定化した DFA とします。\nここで遷移関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_D\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は状態の集合について拡張したもので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(Q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の部分集合で初期状態から到達可能な状態の集合からなるものとし、受理状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF_D = \\{ P \\in \\mathscr{R}\\ |\\ F \\cap P \\ne \\varnothing \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語は元の NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と等しいものとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eBrzozowski のアルゴリズム\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eBrzozowski のアルゴリズムによって最小 DFA が求められるのは、次の定理に依ります。\n(この部分の内容は以前の Qiita の記事の内容と同様です。)\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e定理\u003c/strong\u003e: 言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する最小 DFA となる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e証明\u003c/strong\u003e:\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA なので各状態の左言語は互いに素である。\n(互いに異なるではなく \u003cstrong\u003e互いに素\u003c/strong\u003e、つまり、2 つの異なる状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{I, p} \\cap L_{I, q} = \\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることに注意してください。)\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態の集合で、その右言語は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる各状態の元の DFA での左言語の和集合となる。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e以上の 1. と 2. より \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の各状態の右言語は互いに異なるため、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小 DFA となる。\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e□\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Box\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.675em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e□\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は 2 回リバースすることで、元の言語の最小 DFA が求まっているわけです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eDFA の最小化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がどのようなオートマトンなのかの話題に入る前に、Brzozowski のアルゴリズム以外の一般的な最小 DFA の求め方について簡単に説明しておきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最小 DFA は、状態の集合を受理状態とそれ以外の部分に分割して、さらにその部分に区別可能な (右言語が明らかに異なる) ものがある場合は分割を繰り返し、それ以上分割できなくなったところで終了する、というアルゴリズムによって求められます。\nこのようにして最小 DFA を求めるアルゴリズムには、Moore のアルゴリズムや Hopcroft のアルゴリズムといったものがあります。\nこれらのアルゴリズムは \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_refinement\"\u003ePartition Refinement\u003c/a\u003e というデータ構造を用いることで効率的に計算できるのですが、今回はあまり関係ないので、その話題にはあまり触れないでおきます。\n興味のある方は自分で調べてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e重要なのは、これらのアルゴリズムは最終的に DFA の状態の集合を、区別できない (右言語の等しい) 状態の部分に分割する、ということです。\n言い換えると、これらのアルゴリズムでは状態を引数に取る割当て (関数) \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で、2 つの状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi(p) =  \\pi(q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{p, F} = L_{q, F}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が同値となるようなものを求めています。\nそして、この関数を DFA の状態の集合や遷移関数の状態などのすべてに適用することで、最小 DFA が得られるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、Brzozowski のアルゴリズムではいきなり DFA が求まっており、この関数がどのようなものなのか明確ではありません。\nですが、DFA の最小化アルゴリズムですので、そのような関数は確実に存在します。\nそれを明らかにするのが、この記事のもう 1 つのテーマとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eBrzozowski のアルゴリズムで得られる DFA\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eここからは、本題である \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がどのような DFA なのかについて説明します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eいきなり結論からいきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e定理\u003c/strong\u003e: DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA = (Q, \\Sigma, \\delta, q_0, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、それをリバース・決定化した DFA を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A)) = (\\mathscr{R}, \\Sigma, \\delta_{DR}, F, \\{ P \\in \\mathscr{R}\\ |\\ q_0 \\in P \\})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e})\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とおく。\nこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(Q\u0026#x27;, \\Sigma, \\delta\u0026#x27;, \\mathscr{R}_{q_0}, F\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.038em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" 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style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が存在する場合のみ)\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eただし、状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q = \\{ P \\in \\mathscr{R} \\ |\\ q \\in P \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e (\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含むすべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態) とする。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e証明\u003c/strong\u003e:\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の初期状態が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_{q_0}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3173em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.357em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.0714em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size3 size1 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.143em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なのはリバース・決定化の定義より明らか。\nよって \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(\\mathscr{R}_p, \\sigma) = \\mathscr{R}_{\\delta(q, \\sigma)}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0552em;vertical-align:-0.3552em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen mtight\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose mtight\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が成り立つかどうかが問題となる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、元の DFA で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となっていたとする。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003eまず、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\in \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む、つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma) \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることが分かる。\nなぜなら、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep \\in \\delta_R(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を部分集合として含むからである。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003eさらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eS \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした遷移関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{RDR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で遷移すると、その遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\in \\delta_{RDR}(S, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む、つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{RDR}(S, \\sigma) \\subseteq \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e である。\nなぜなら、もし \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含まない状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に遷移したとすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(T\u0026#x27;, \\sigma) = S\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が存在して、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep \\in \\delta_R(r, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo 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style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e である \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er \\in T\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が存在することになるが、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なので \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となり矛盾するためである。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eつまり、すべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\in \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eには \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの元に遷移して、\nかつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{RDR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元以外に遷移することはない。\nこのことから、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DRDR}(\\mathscr{R}_p, \\sigma) = \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と分かる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DRDR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e から \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のようにしか遷移しないということは、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で到達可能な状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(\\mathscr{R})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のうち適当な状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表せるもののみである。\n最後に、リバース・決定化の定義より \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は元の DFA の受理状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含むが、到達可能なものは \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の形で表せるものだけなので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in F\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表せるものとなることが分かる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上で、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は上で定義した DFA と構造的に等しいことが確認できた。\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e□\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Box\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.675em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e□\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eさて、この定理により、Brzozowski のアルゴリズムで求まる DFA を得られるような割当ては \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi(q) = \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であると分かりました。\nさらに言えば、2 回目のリバース・決定化は必要がなくて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態から各状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を求めるだけで十分であることも分かります。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を計算する時点で指数時間となってしまうので、これで計算量や実際の計算速度が大きく縮まることは無いと思いますが、それなりに興味深い結果だと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eまとめ\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態は、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の到達可能な状態 (状態の集合) のうち、ある状態を含むようなものからなる集合となっていることを確認しました。\nBrzozowski のアルゴリズムはシンプルかつエレガントな一方、他の最小化アルゴリズムとの関係が分かりづらいと感じる部分があるのですが、今回の記事が理解の助けになれば幸いです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、もし \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を実際に計算せずに各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が計算できれば、最小 DFA を効率良く計算できるのではないか、と感じた方もいるのではないでしょうか。\n実際、冒頭で挙げた参考文献はそのような内容になっていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を求めずに計算するアルゴリズムを示した後、Hopcroft のアルゴリズムに関する考察を通じて、アルゴリズムを最適化しています。\nこのようにして既存の手法を発展させていくのは、中々面白い話だと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eもう 1 つ Brzozowski のアルゴリズムに関して言えば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が DFA なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小 DFA になりますが、DFA に限らず特定の NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e でも \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が最小になることもあるんじゃないか、という直観があります。\nこれも実は正しくて、NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がアトミックであるとき、かつそのときに限り \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小になります。\nこのアトミックという条件などについては、\u003ca href=\"https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397514002953\"\u003eTheory of átomata\u003c/a\u003e という論文で詳しく説明されています。\nこれは 2014 年の論文なのですが、なんとこの論文の著者の一人は Brzozowski その人です。\n1960 年代に自身の発表したアルゴリズムを、50 年以上かけてさらに洗練させるバイタリティにはとんでもないものを感じます。\nさらに、最初の決定化をアトミックな NFA を求める処理 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eAt(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e にする (つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(At(R(A)))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) ことで、\u003ca href=\"https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397513001965\"\u003e多項式時間で最小 DFA を求められる\u003c/a\u003e ことが知られています。\nこの辺りの話も色々と興味深いので、いつか解説したいです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれでは、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2021-03-19-brozozowski-algorithm"},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2021-03-19-brozozowski-algorithm","title":"Brzozowski のアルゴリズムとは結局何なのか","created":"2021-03-19","description":"2回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは Brzozowski のアルゴリズムとして知られています。\nこの記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを解説します。","content":"\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA とすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する最小 DFA となります。\nここで \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e というのは部分集合構成法による決定化の処理で、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA の各遷移と初期状態・受理状態を反対にして NFA を求める処理を表します。\nこの 2 回のリバースと決定化を行う DFA の最小化アルゴリズムは \u003cstrong\u003eBrozozowski のアルゴリズム\u003c/strong\u003e として知られています。\nBrzozowski 微分などで知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Janusz_Brzozowski_(computer_scientist)\"\u003eJanusz Brzozowski\u003c/a\u003e が 1960 年代に発表したアルゴリズムです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以前 Qiita でこのアルゴリズムでどうして DFA の最小化が行なえるのかを説明したのですが(\u003ca href=\"https://qiita.com/make_now_just/items/471d272442803796e37a\"\u003eBrzozowski のアルゴリズム - なぜ DFA を 2 回反転すると最小化できるのか\n\u003c/a\u003e)、これによって構成される DFA がどのようなものなのかは説明していませんでした。\n今回のこの記事では、Brozozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA がどのようなものなのかを別の角度から少し解説したいと思います。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e解説\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事で説明する内容は、次の参考文献の「3. Brzozowski's algorithm」の内容を元にしています。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003eGarcıa, P., D. López, and M. Vázquez de Parga. DFA minimization: from Brzozowski to Hopcroft. Technical report, Universidad Politécnica de Valencia. Informes técnicos de investigación DSIC-TLCC, 2013. (\u003ca href=\"https://m.riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/27623/partial%20rev%20determ.pdf\"\u003ePDF\u003c/a\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003ch2\u003e準備\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を集合として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eS\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれるとき \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex \\subseteq X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7719em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の部分集合であるとき \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY \\subseteq X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX, Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX \\cap Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の共通部分、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX \\cup Y\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∪\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eY\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eY\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.22222em;\"\u003eY\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の和集合を表します。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のすべての部分集合全体からなる集合を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(X)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n空集合は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e有限の集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をアルファベットとして、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を有限個並べたもの全体からなる集合を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を文字、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の元を文字列と呼びます。\n2 つの文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ev\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eu, v \\in \\Sigma^\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eu\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を順番に並べたものを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ev\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eu \\cdot v\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4445em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eu\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の並びを逆向きにしたもの (リバースしたもの) を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表し、文字列の集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれるすべての文字列をリバースしたものを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表します。\n空文字列は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\varepsilon\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e5 タプル \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(Q, \\Sigma, \\delta, I, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を NFA (非決定性有限状態オートマトン) と呼びます。\nここで \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は状態の有限集合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e はアルファベット、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e:\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e→\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta : Q \\times \\Sigma \\to \\mathscr{P}(Q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e×\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e→\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は遷移関数、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eI \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は初期状態の集合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は受理状態の集合です。\n状態の部分集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\subseteq Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して拡張した遷移関数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_D(P, \\sigma) = \\bigcup_{p \\in P}  \\delta(p, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1858em;vertical-align:-0.4358em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1786em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.4358em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義して、さらに文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して拡張した遷移関数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta^\\ast(P, \\varepsilon) = P,\\ \\delta^\\ast(P, \\sigma w) = \\delta^\\ast(\\delta_D(P, \\sigma), w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義します。\nこのとき状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{I, q} = \\{ w \\in \\Sigma^\\ast\\ |\\ q \\in \\delta^\\ast(I, w) \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の左言語、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{q, F} = \\{ w \\in \\Sigma^\\ast\\ |\\ \\delta^\\ast(\\{ q \\}, w) \\cap F \\ne \\varnothing \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e({\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の右言語とします。\n状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について左言語が空ではないものを到達可能な状態と呼び、すべての状態が到達可能なときその NFA を到達可能な NFA と呼びます。\n初期状態の右言語の和集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\bigcup_{q \\in I} L_{q, F}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1858em;vertical-align:-0.4358em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1786em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.4358em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を NFA の受理する言語と呼びます。\n2 つの NFA のそれぞれの値が等しいとき、2 つの NFA を構造的に等しいといいます。\nさらに、NFA の初期状態がちょうど 1 つで、遷移関数の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が高々 1 つのとき、その NFA を DFA (決定性有限状態オートマトン) と呼び、NFA に関する用語は DFA に対しても同様に用いられます。\n誤解がない場合、DFA のただ 1 つの初期状態を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、遷移関数の遷移先を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のように表記する場合があります。\n言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA の各状態の右言語が互いに異なるとき、その DFA を言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の最小 DFA と呼びます。\n今回の記事で扱う NFA・DFA はすべて到達可能なものとします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eDFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA = (Q, \\Sigma, \\delta, q_0, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A) = (Q, \\Sigma, \\delta_R, F, \\{ q_0 \\})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e})\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした NFA とします。\nここで遷移関数は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_R(p, \\sigma) = \\{ q \\in Q \\ |\\ \\delta(q, a) = p \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と定義されます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語は元の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eNFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A) = (\\mathscr{R}, \\Sigma, \\delta_D, I, F_D)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を決定化した DFA とします。\nここで遷移関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_D\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は状態の集合について拡張したもので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(Q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の部分集合で初期状態から到達可能な状態の集合からなるものとし、受理状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF_D = \\{ P \\in \\mathscr{R}\\ |\\ F \\cap P \\ne \\varnothing \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語は元の NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理する言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と等しいものとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eBrzozowski のアルゴリズム\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eBrzozowski のアルゴリズムによって最小 DFA が求められるのは、次の定理に依ります。\n(この部分の内容は以前の Qiita の記事の内容と同様です。)\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e定理\u003c/strong\u003e: 言語 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL^R\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受理する最小 DFA となる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e証明\u003c/strong\u003e:\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は DFA なので各状態の左言語は互いに素である。\n(互いに異なるではなく \u003cstrong\u003e互いに素\u003c/strong\u003e、つまり、2 つの異なる状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{I, p} \\cap L_{I, q} = \\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eI\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることに注意してください。)\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態の集合で、その右言語は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる各状態の元の DFA での左言語の和集合となる。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e以上の 1. と 2. より \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の各状態の右言語は互いに異なるため、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小 DFA となる。\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e□\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Box\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.675em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e□\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は 2 回リバースすることで、元の言語の最小 DFA が求まっているわけです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eDFA の最小化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がどのようなオートマトンなのかの話題に入る前に、Brzozowski のアルゴリズム以外の一般的な最小 DFA の求め方について簡単に説明しておきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最小 DFA は、状態の集合を受理状態とそれ以外の部分に分割して、さらにその部分に区別可能な (右言語が明らかに異なる) ものがある場合は分割を繰り返し、それ以上分割できなくなったところで終了する、というアルゴリズムによって求められます。\nこのようにして最小 DFA を求めるアルゴリズムには、Moore のアルゴリズムや Hopcroft のアルゴリズムといったものがあります。\nこれらのアルゴリズムは \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_refinement\"\u003ePartition Refinement\u003c/a\u003e というデータ構造を用いることで効率的に計算できるのですが、今回はあまり関係ないので、その話題にはあまり触れないでおきます。\n興味のある方は自分で調べてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e重要なのは、これらのアルゴリズムは最終的に DFA の状態の集合を、区別できない (右言語の等しい) 状態の部分に分割する、ということです。\n言い換えると、これらのアルゴリズムでは状態を引数に取る割当て (関数) \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で、2 つの状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi(p) =  \\pi(q)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL_{p, F} = L_{q, F}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が同値となるようなものを求めています。\nそして、この関数を DFA の状態の集合や遷移関数の状態などのすべてに適用することで、最小 DFA が得られるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、Brzozowski のアルゴリズムではいきなり DFA が求まっており、この関数がどのようなものなのか明確ではありません。\nですが、DFA の最小化アルゴリズムですので、そのような関数は確実に存在します。\nそれを明らかにするのが、この記事のもう 1 つのテーマとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eBrzozowski のアルゴリズムで得られる DFA\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eここからは、本題である \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がどのような DFA なのかについて説明します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eいきなり結論からいきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e定理\u003c/strong\u003e: DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA = (Q, \\Sigma, \\delta, q_0, F)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、それをリバース・決定化した DFA を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A)) = (\\mathscr{R}, \\Sigma, \\delta_{DR}, F, \\{ P \\in \\mathscr{R}\\ |\\ q_0 \\in P \\})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e})\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とおく。\nこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(Q\u0026#x27;, \\Sigma, \\delta\u0026#x27;, \\mathscr{R}_{q_0}, F\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.038em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3173em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.357em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.0714em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size3 size1 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.143em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord 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style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e (\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含むすべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態) とする。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e証明\u003c/strong\u003e:\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の初期状態が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_{q_0}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3173em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.357em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.0714em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size3 size1 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.143em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なのはリバース・決定化の定義より明らか。\nよって \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(\\mathscr{R}_p, \\sigma) = \\mathscr{R}_{\\delta(q, \\sigma)}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0552em;vertical-align:-0.3552em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen mtight\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct mtight\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose mtight\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が成り立つかどうかが問題となる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep, q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について、元の DFA で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となっていたとする。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003eまず、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\in \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む、つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma) \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることが分かる。\nなぜなら、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep \\in \\delta_R(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(P, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(q, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を部分集合として含むからである。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003eさらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eS \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をリバースした遷移関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{RDR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で遷移すると、その遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\in \\delta_{RDR}(S, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む、つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⊆\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{RDR}(S, \\sigma) \\subseteq \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⊆\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e である。\nなぜなら、もし \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含まない状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に遷移したとすると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eS\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}(T\u0026#x27;, \\sigma) = S\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.05764em;\"\u003eS\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が存在して、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep \\in \\delta_R(r, \\sigma)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = r\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e である \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er \\in T\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が存在することになるが、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta(p, \\sigma) = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なので \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er = q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となり矛盾するためである。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eつまり、すべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP \\in \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eには \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの元に遷移して、\nかつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\in \\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" 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class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DRDR}(\\mathscr{R}_p, \\sigma) = \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" 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class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と分かる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta_{DRDR}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0379em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_p\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e から \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のようにしか遷移しないということは、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で到達可能な状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{P}(\\mathscr{R})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.08078em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のうち適当な状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と表せるもののみである。\n最後に、リバース・決定化の定義より \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は元の DFA の受理状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eF\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含むが、到達可能なものは \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の形で表せるものだけなので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の受理状態は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in F\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で表せるものとなることが分かる。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上で、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は上で定義した DFA と構造的に等しいことが確認できた。\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e□\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\Box\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.675em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e□\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eさて、この定理により、Brzozowski のアルゴリズムで求まる DFA を得られるような割当ては \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\pi(q) = \\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eπ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であると分かりました。\nさらに言えば、2 回目のリバース・決定化は必要がなくて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態から各状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を求めるだけで十分であることも分かります。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を計算する時点で指数時間となってしまうので、これで計算量や実際の計算速度が大きく縮まることは無いと思いますが、それなりに興味深い結果だと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eまとめ\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、Brzozowski のアルゴリズムで求まる最小 DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(D(R(A))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の状態は、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の到達可能な状態 (状態の集合) のうち、ある状態を含むようなものからなる集合となっていることを確認しました。\nBrzozowski のアルゴリズムはシンプルかつエレガントな一方、他の最小化アルゴリズムとの関係が分かりづらいと感じる部分があるのですが、今回の記事が理解の助けになれば幸いです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、もし \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eR(D(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を実際に計算せずに各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathscr{R}_q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9861em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathscr\" style=\"margin-right:0.06259em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0626em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が計算できれば、最小 DFA を効率良く計算できるのではないか、と感じた方もいるのではないでしょうか。\n実際、冒頭で挙げた参考文献はそのような内容になっていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を求めずに計算するアルゴリズムを示した後、Hopcroft のアルゴリズムに関する考察を通じて、アルゴリズムを最適化しています。\nこのようにして既存の手法を発展させていくのは、中々面白い話だと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eもう 1 つ Brzozowski のアルゴリズムに関して言えば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が DFA なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小 DFA になりますが、DFA に限らず特定の NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e でも \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が最小になることもあるんじゃないか、という直観があります。\nこれも実は正しくて、NFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がアトミックであるとき、かつそのときに限り \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(A))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は最小になります。\nこのアトミックという条件などについては、\u003ca href=\"https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397514002953\"\u003eTheory of átomata\u003c/a\u003e という論文で詳しく説明されています。\nこれは 2014 年の論文なのですが、なんとこの論文の著者の一人は Brzozowski その人です。\n1960 年代に自身の発表したアルゴリズムを、50 年以上かけてさらに洗練させるバイタリティにはとんでもないものを感じます。\nさらに、最初の決定化をアトミックな NFA を求める処理 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eAt(A)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e にする (つまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(R(At(R(A)))))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.00773em;\"\u003eR\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)))))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) ことで、\u003ca href=\"https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397513001965\"\u003e多項式時間で最小 DFA を求められる\u003c/a\u003e ことが知られています。\nこの辺りの話も色々と興味深いので、いつか解説したいです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれでは、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2021-03-19-brozozowski-algorithm"},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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 <!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>Hopcroft のアルゴリズムについて | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="DFA 最小化アルゴリズムの1つである Hopcroft のアルゴリズムについての解説です。
 Ruby による実装だけでなく、正しさの確認や計算量の解析も行います。"/><meta property="og:title" content="Hopcroft のアルゴリズムについて | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-04-02-hopcroft-algorithm"/><meta property="og:description" content="DFA 最小化アルゴリズムの1つである Hopcroft のアルゴリズムについての解説です。
-Ruby による実装だけでなく、正しさの確認や計算量の解析も行います。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-04-02-hopcroft-algorithm.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">Hopcroft のアルゴリズムについて</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。
+Ruby による実装だけでなく、正しさの確認や計算量の解析も行います。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2021-04-02-hopcroft-algorithm.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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22.9 17 46.4 0 33.7-.3 75.4-.3 83.6 0 6.5 4.6 14.4 17.3 12.1C428.2 457.8 496 362.9 496 252 496 113.3 383.5 8 244.8 8zM97.2 352.9c-1.3 1-1 3.3.7 5.2 1.6 1.6 3.9 2.3 5.2 1 1.3-1 1-3.3-.7-5.2-1.6-1.6-3.9-2.3-5.2-1zm-10.8-8.1c-.7 1.3.3 2.9 2.3 3.9 1.6 1 3.6.7 4.3-.7.7-1.3-.3-2.9-2.3-3.9-2-.6-3.6-.3-4.3.7zm32.4 35.6c-1.6 1.3-1 4.3 1.3 6.2 2.3 2.3 5.2 2.6 6.5 1 1.3-1.3.7-4.3-1.3-6.2-2.2-2.3-5.2-2.6-6.5-1zm-11.4-14.7c-1.6 1-1.6 3.6 0 5.9 1.6 2.3 4.3 3.3 5.6 2.3 1.6-1.3 1.6-3.9 0-6.2-1.4-2.3-4-3.3-5.6-2z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">Hopcroft のアルゴリズムについて</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。
 今回は、別の最小化アルゴリズムとして Hopcroft のアルゴリズムについて解説します。</p>
 <p><a href="https://www.amazon.co.jp/dp/B00IZ0LLDW">&quot;Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation&quot;</a> (日本語訳『オートマトン 言語理論 計算論』) の著者の一人として知られる <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hopcroft">John Hopcroft</a> が 1971 年に発表したアルゴリズムです。
 実装を工夫することで最悪計算量は DFA の状態数 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span></eq> に対して <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n \log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mop">lo<span style="margin-right:0.01389em;">g</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></eq> となることが知られています。
@@ -228,4 +228,4 @@ <h1>まとめ</h1>
 <p>論文には実装して行なった実験結果もあるのですが、実行環境が IBM System/360 モデル 67 とかで面白いです。
 でもその時代のプログラムでも、そこそこの大きさに対してちゃんと動いたんだなと感心する部分もあります。</p>
 <p>というわけで、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。</p>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2021-04-02</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 0-30.1-.9-45.1-3.2-18.7-2.6-37-6-56-6-46.8 0-73.5 38.7-73.5 82.6 0 87.8 80.4 101.3 150.4 101.3h48.2c70.3 0 150.6-13.4 150.6-101.3zm-82.6-55.1c-25.8 0-36.7 34.2-36.7 55.1s10.9 55.1 36.7 55.1 36.7-34.2 36.7-55.1-10.9-55.1-36.7-55.1z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm","title":"Hopcroft のアルゴリズムについて","created":"2021-04-02","description":"DFA 最小化アルゴリズムの1つである Hopcroft のアルゴリズムについての解説です。\nRuby による実装だけでなく、正しさの確認や計算量の解析も行います。","content":"\u003cp\u003e前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。\n今回は、別の最小化アルゴリズムとして Hopcroft のアルゴリズムについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://www.amazon.co.jp/dp/B00IZ0LLDW\"\u003e\u0026quot;Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation\u0026quot;\u003c/a\u003e (日本語訳『オートマトン 言語理論 計算論』) の著者の一人として知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hopcroft\"\u003eJohn Hopcroft\u003c/a\u003e が 1971 年に発表したアルゴリズムです。\n実装を工夫することで最悪計算量は DFA の状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となることが知られています。\nしかし、正当さがやや直感的でないことから、オートマトン理論の教科書や講義などで触れられる機会は少ないように思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、Hopcroft のアルゴリズムの実装に加えて、その正しさの証明や計算量の解析を行います。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e実装と解説\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事で説明する内容は、次の参考文献の内容を元にしています。\nこれは Hopcroft のアルゴリズムの原論文 (のはず) です。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003eHopcroft, John. \u0026quot;An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton.\u0026quot; Theory of machines and computations. Academic Press, 1971. 189-196. (\u003ca href=\"http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf\"\u003ePDF\u003c/a\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003ch2\u003e実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eさっそくですが、Ruby による実装を紹介します。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erequire\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;set\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e Partition Refinement というデータ構造の実装。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_refinement\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003ePartitionRefinement\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元となる集合でデータ構造を初期化する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003einitialize\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e ブロックの `object_id` からそのブロックへの Hash。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各値とその値の属すブロックの `object_id` の Hash。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e values\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた集合で元となる集合を分割する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 計算量は与えられた集合の大きさを n として O(n)。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 戻り値はこの集合で分割された2つのブロックの組の配列。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた集合の各値に対応するブロックの `object_id` から、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e そのブロックの分割先のブロックへの Hash を構築する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    split \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    values\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e||=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e value\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元のブロックから分割した値を削除する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    result \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eif\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e!=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esubtract\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e          \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        result \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    result\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 現在のブロックの配列。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e ブロックの `object_id` からその部分集合を取得する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e DFA (決定性有限状態オートマトン) を表すデータ構造。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eStruct\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 状態の集合\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e         \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e アルファベット\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e       \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 遷移関数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003einit_state\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e       \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 初期状態\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 受理状態の集合\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた DFA に対して Hopcroft の最小化アルゴリズムを適用する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 最悪計算量は DFA の状態数 n に対して O(n log n)。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ehopcroft\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e リバースした遷移関数を求める。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  transition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  reversed_transition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e transition\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach_key\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003egroup_by \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e v\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026amp;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003efirst\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e).\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (2)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 状態の集合を、まず受理状態とそれ以外の状態に分割する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  partition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003ePartitionRefinement\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (3)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait に各文字とブロックの `object_id` の組を追加する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  in_wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      in_wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait が無くなるまで繰り返す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003euntil\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eempty?\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait から文字 a とブロック block を取り出す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003epop\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    in_wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edelete\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e])\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.2)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 文字 a でブロックに含まれる状態へと遷移する状態の集合 previous を求める。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    previous \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e previous\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emerge\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ereversed_transition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e||\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[])\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.3)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 集合 previous で分割して、分割された各ブロックについて繰り返す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eprevious\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e).\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eold\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.3.1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各文字と待ちリストに含まれていない大きさの小さい方のブロックを、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait に追加する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      old_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      min_block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: 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#31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e next_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (5)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各ブロックに含まれる状態からそのブロックへの Hash で、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元の DFA の状態を置き換える。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  divide \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eflat_map \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|((\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq1\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e),\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq2\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edivide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq1\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq2\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003einit_state\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e実装についてはコメントの通りです。\n\u003ccode\u003ehopcroft\u003c/code\u003e の実装中の \u003ccode\u003e(1)\u003c/code\u003e のようなコメントは後から参照する用です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれと、Partition Refinement について少し補足します。\nこれは元となる集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e (互いに素で和がちょうど \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\bigcup P_j = X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となる) を管理するデータ構造で、\n集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で分割する操作 (各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∧\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\ne A \\land P_j \\cap A \\ne \\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9805em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∧\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\cap A\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∖\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\setminus A\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∖\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で置き換える) が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|A|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で行なえるものです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e正当性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e次にアルゴリズムの正当性を確認します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、このアルゴリズムは必ず停止することを確認します。\n一見すると同じブロックの \u003ccode\u003eobject_id\u003c/code\u003e が待ちリスト \u003ccode\u003ewait\u003c/code\u003e に複数回追加される可能性があるため無限にループしそうにも思えますが、そのようなことはありえません。\nなぜなら、\u003ccode\u003ewait\u003c/code\u003e に追加される前に必ずブロックは分割されているため、以前に処理したときよりも小さくなっています。\nそして、1 要素だけになったブロックがさらに分割されることはないため、\u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e のループは必ず終了し、アルゴリズムも停止します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eアルゴリズム中で Partition Refinement で管理している 2 つの異なる細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1 \\in P_1, q_2 \\in P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は区別可能な状態 (その状態からはじめて受理される文字列の集合が異なる) となることを帰納法で確認します。\n最初の \u003ccode\u003e(2)\u003c/code\u003e で初期化した時点では、受理状態とそれ以外の状態に分けられていますが、それらは明らかに区別可能です。\n次に\u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e で分割された場合を考えます。\n\u003ccode\u003e(4.1)\u003c/code\u003e で取り出された文字を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、 \u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e で分割された細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とすると、どちらか一方に含まれる状態では \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態に遷移できますが、もう一方では不可能のため、区別可能だと分かります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最後に、区別可能な状態が同じ細分に含まれている状態でアルゴリズムが停止したとすると矛盾が生じることにより、このアルゴリズムが状態の集合を正しく区別不可能な部分集合に分割し、最小化が行えることを確認します。\nこのとき、細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる 2 つの状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2 \\in P\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が区別可能なとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の関係には次の 3 つの場合が考えられます。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003eある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e での \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の属する細分と、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の属する細分が異なる場合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003eある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e での一方の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は存在するが、もう一方の遷移先は存在しない場合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e2 文字以上の文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で一方からはじめた場合受理されるが、もう一方はそうではない場合。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e3 の場合はその文字列で遷移させていって、遷移先が別の細分になった、もしくは一方の遷移先が無くなったところで止めれば 1 か 2 の状況になります。\nなので 1 か 2 の場合だけを考えればよいです。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分が分割されているということは、少なくともこのどちらかが待ちリストに入り、分割が行なわれるはずです。\nだとすると、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分が分割されていない、ということはありえないため、矛盾が生じます。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e待ちリストが受理状態の集合とそれ以外の状態の集合から始まっているため、すべての状態についてそれを含む細分で一度は分割を行なっています。\nよって \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分も分割されていなければならず、矛盾が生じます。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e以上で Hopcroft のアルゴリズムの正当性を確認できました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに DFA の遷移関数が任意の状態、文字について遷移先が存在するような場合は 2 の場合分けが必要ないので、\n\u003ccode\u003e(3)\u003c/code\u003e で待ちリストに追加するのも大きさの小さい方だけで十分です。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e計算量\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e最悪計算量が状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となることを確認します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず \u003ccode\u003e(1)\u003c/code\u003e, \u003ccode\u003e(2)\u003c/code\u003e, \u003ccode\u003e(3)\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003e(5)\u003c/code\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で処理できることに注意してください。\nこれは単なるアルファベットに対するループであったり、遷移関数の各対応に対するループのためです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって \u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e のループの計算量が支配的となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eループの中身 (つまり \u003ccode\u003e(4.1)\u003c/code\u003e から \u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e) の計算量は、取り出した文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で取り出した細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態へと遷移する状態の数と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に比例します。\nつまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態へと遷移する状態の個数として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(a_j + |P_j|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e です。\nなぜなら、\u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e の \u003ccode\u003ePartitionRefinement#refine\u003c/code\u003e の計算量と戻り値の配列の大きさは与えられた集合の大きさに比例するのと、\n\u003ccode\u003e(4.2)\u003c/code\u003e の計算量は \u003ccode\u003e|P|\u003c/code\u003e の大きさに依存するからです。\nこの比例係数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ek\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e細分が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e まであり、ある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(a, P_1), \\cdots, (a, P_r)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e までが待ちリストに追加されていて、\n残りの \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_{r+1}, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2083em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e との組は追加されていないような状況から、ループが終了するまでの計算量が次の式 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられると仮定します。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi 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mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nT = k\\left[\\sum_{j=1}^r (a_j + |P_j|) \\log |P_j| + \\sum_{j=r+1}^n (a_j + |P_j|) \\log |P_j|/2\\right]\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan 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style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"delimsizing size4\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eこの式は突然出てきた感じがしますが、直感的には左の総和 (待ちリストに含まれてる方) は一回のループに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ek (a_j + |P_j|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かかる処理を、\nそれが分割されてまた待ちリストに入るため \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 回起こる可能性がある、ということを表していて、\n右の総和 (待ちリストに含まれていない方) は最初の 1 回のループが無い分 2 分の 1 にされている、というイメージになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sum a_j = n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sum |P_j| = n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で、各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|, \\log |P_j|/2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\le 2k n \\log n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ekn\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることは容易に分かるでしょう。\nよって、この式で抑えられることが正しいことを確かめたいです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以外の文字との組が取り出されて、その結果分割が起こった場合を考えます。\nこの場合の新たな計算量 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e^\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\hat{T}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord accent\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.2523em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"accent-body\" style=\"left:-0.1667em;\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下になります。\n待ちリストに含まれる細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が分割されたのであれば、分割した結果の細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo 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となりますが、\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_{j1}|, \\log |P_{j2}|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e^\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\hat{T}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord accent\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.2523em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"accent-body\" style=\"left:-0.1667em;\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下と分かります。\n待ちリストに含まれない細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_k\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が分割された場合も、分割した結果の細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_{j1}, P_{j2}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、さらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P_{j1}| \\le |P_{j2}|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として考えます。\nこの場合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(a_j + |P_j|) \\log |P_j|/2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" 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style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e より \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P_{j1}| \\le |P_j|/2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e および \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P_{j2}|/2 \\le |P_j|/2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e^\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\hat{T}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord accent\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.2523em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"accent-body\" style=\"left:-0.1667em;\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下になることが確かめられます。\nよって他の文字との組で分割が起こる場合でも、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることが分かりました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最後に、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e についての帰納法で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることを確かめましょう。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er = 0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の場合は待ちリストに存在しない場合なので、当然成り立ちます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e\u0026gt;\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er \u0026gt; 0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の場合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er-1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e までで成り立っているとして、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が待ちリストに入っていて、そこでちょうど取り出されるところで成り立つか考えます。\nこの場合の計算量は、帰納法の仮定より次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nk \\left[ (a_r + |P_r|) + (a_r + |P_r|) \\log |P_r|/2 + \\sum_{j=1}^r (a_j + |P_j|) \\log |P_j| + \\sum_{j=r+1}^m (a_j + |P_j|) \\log |P_j|/2 \\right]\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:3.1638em;vertical-align:-1.4138em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" 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style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e より、これは \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e そのものです。\nよって、すべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることが確認できました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上で、アルゴリズムの計算量が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることを確認しました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eまとめ\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eHopcroft のアルゴリズムの正しさと計算量が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることを確認しました。\n実は論文の内容ほとんどそのままなのですが、それなりに分かりやすく説明したつもりです。\nしいて違うところを挙げるなら、正当性の部分で完全でない DFA について考えているところと、計算量のところが論文では \u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e の 1 回のループを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に比例する時間で行えるとしているのですが、\n(少なくとも今回の実装では) あやしいと感じたので \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea_j + |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e としているところです。\n論文にはソースコードも付属しているのですが、印刷の関係でほとんど読めないし、読めても古の ALGOL のコードを読むのはしんどいだろうな、と思うので、実際にどうなのかはよく分かってません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e論文には実装して行なった実験結果もあるのですが、実行環境が IBM System/360 モデル 67 とかで面白いです。\nでもその時代のプログラムでも、そこそこの大きさに対してちゃんと動いたんだなと感心する部分もあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eというわけで、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm"},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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+</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2021-04-02</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 0-30.1-.9-45.1-3.2-18.7-2.6-37-6-56-6-46.8 0-73.5 38.7-73.5 82.6 0 87.8 80.4 101.3 150.4 101.3h48.2c70.3 0 150.6-13.4 150.6-101.3zm-82.6-55.1c-25.8 0-36.7 34.2-36.7 55.1s10.9 55.1 36.7 55.1 36.7-34.2 36.7-55.1-10.9-55.1-36.7-55.1z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm","title":"Hopcroft のアルゴリズムについて","created":"2021-04-02","description":"DFA 最小化アルゴリズムの1つである Hopcroft のアルゴリズムについての解説です。\nRuby による実装だけでなく、正しさの確認や計算量の解析も行います。","content":"\u003cp\u003e前回の記事では DFA 最小化アルゴリズムとして Brzozowski のアルゴリズムを解説しました。\n今回は、別の最小化アルゴリズムとして Hopcroft のアルゴリズムについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://www.amazon.co.jp/dp/B00IZ0LLDW\"\u003e\u0026quot;Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation\u0026quot;\u003c/a\u003e (日本語訳『オートマトン 言語理論 計算論』) の著者の一人として知られる \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hopcroft\"\u003eJohn Hopcroft\u003c/a\u003e が 1971 年に発表したアルゴリズムです。\n実装を工夫することで最悪計算量は DFA の状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となることが知られています。\nしかし、正当さがやや直感的でないことから、オートマトン理論の教科書や講義などで触れられる機会は少ないように思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、Hopcroft のアルゴリズムの実装に加えて、その正しさの証明や計算量の解析を行います。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e実装と解説\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこの記事で説明する内容は、次の参考文献の内容を元にしています。\nこれは Hopcroft のアルゴリズムの原論文 (のはず) です。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003eHopcroft, John. \u0026quot;An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton.\u0026quot; Theory of machines and computations. Academic Press, 1971. 189-196. (\u003ca href=\"http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf\"\u003ePDF\u003c/a\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003ch2\u003e実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eさっそくですが、Ruby による実装を紹介します。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erequire\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;set\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e Partition Refinement というデータ構造の実装。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_refinement\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003ePartitionRefinement\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元となる集合でデータ構造を初期化する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003einitialize\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e ブロックの `object_id` からそのブロックへの Hash。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各値とその値の属すブロックの `object_id` の Hash。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e values\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた集合で元となる集合を分割する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 計算量は与えられた集合の大きさを n として O(n)。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 戻り値はこの集合で分割された2つのブロックの組の配列。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた集合の各値に対応するブロックの `object_id` から、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e そのブロックの分割先のブロックへの Hash を構築する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    split \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    values\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e||=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e value\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元のブロックから分割した値を削除する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    result \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    split\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eif\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e!=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esubtract\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003enew_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e          \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003evalue_to_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalue\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        result \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    result\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 現在のブロックの配列。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003evalues\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e ブロックの `object_id` からその部分集合を取得する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e DFA (決定性有限状態オートマトン) を表すデータ構造。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eStruct\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 状態の集合\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e         \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e アルファベット\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e       \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 遷移関数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003einit_state\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e       \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 初期状態\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 受理状態の集合\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 与えられた DFA に対して Hopcroft の最小化アルゴリズムを適用する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 最悪計算量は DFA の状態数 n に対して O(n log n)。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ehopcroft\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e リバースした遷移関数を求める。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  transition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  reversed_transition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e transition\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach_key\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003egroup_by \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ev\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e v\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026amp;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003efirst\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e).\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (2)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 状態の集合を、まず受理状態とそれ以外の状態に分割する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  partition \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003ePartitionRefinement\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (3)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait に各文字とブロックの `object_id` の組を追加する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  in_wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      in_wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait が無くなるまで繰り返す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003euntil\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eempty?\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait から文字 a とブロック block を取り出す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003epop\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    in_wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edelete\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e])\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblock_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.2)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 文字 a でブロックに含まれる状態へと遷移する状態の集合 previous を求める。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    previous \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e previous\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emerge\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ereversed_transition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e||\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[])\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.3)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 集合 previous で分割して、分割された各ブロックについて繰り返す。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003erefine\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eprevious\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e).\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eold\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (4.3.1)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各文字と待ちリストに含まれていない大きさの小さい方のブロックを、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 待ちリスト wait に追加する。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      old_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eobject_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      min_block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eeach \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edo\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        next_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e!\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ein_wait\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003einclude?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e old_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e])\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e min_block_id \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e:\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e new_id\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e next_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e        in_wait \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e next_id\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e (5)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 各ブロックに含まれる状態からそのブロックへの Hash で、\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e#\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86; font-style: italic\"\u003e 元の DFA の状態を置き換える。\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  divide \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e partition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eblocks\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eflat_map \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eblock\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e block\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ealphabet\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etransition\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|((\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq1\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e),\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq2\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edivide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq1\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e a\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq2\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_h\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003einit_state\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    dfa\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eaccept_state_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e divide\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eto_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e実装についてはコメントの通りです。\n\u003ccode\u003ehopcroft\u003c/code\u003e の実装中の \u003ccode\u003e(1)\u003c/code\u003e のようなコメントは後から参照する用です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれと、Partition Refinement について少し補足します。\nこれは元となる集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eX\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e (互いに素で和がちょうど \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e⋃\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eX\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\bigcup P_j = X\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e⋃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07847em;\"\u003eX\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となる) を管理するデータ構造で、\n集合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eA\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で分割する操作 (各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∧\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∅\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\ne A \\land P_j \\cap A \\ne \\varnothing\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9805em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∧\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord amsrm\"\u003e∅\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∩\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\cap A\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∩\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∖\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j \\setminus A\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∖\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で置き換える) が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eA\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|A|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eA\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で行なえるものです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e正当性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e次にアルゴリズムの正当性を確認します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、このアルゴリズムは必ず停止することを確認します。\n一見すると同じブロックの \u003ccode\u003eobject_id\u003c/code\u003e が待ちリスト \u003ccode\u003ewait\u003c/code\u003e に複数回追加される可能性があるため無限にループしそうにも思えますが、そのようなことはありえません。\nなぜなら、\u003ccode\u003ewait\u003c/code\u003e に追加される前に必ずブロックは分割されているため、以前に処理したときよりも小さくなっています。\nそして、1 要素だけになったブロックがさらに分割されることはないため、\u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e のループは必ず終了し、アルゴリズムも停止します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eアルゴリズム中で Partition Refinement で管理している 2 つの異なる細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1 \\in P_1, q_2 \\in P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は区別可能な状態 (その状態からはじめて受理される文字列の集合が異なる) となることを帰納法で確認します。\n最初の \u003ccode\u003e(2)\u003c/code\u003e で初期化した時点では、受理状態とそれ以外の状態に分けられていますが、それらは明らかに区別可能です。\n次に\u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e で分割された場合を考えます。\n\u003ccode\u003e(4.1)\u003c/code\u003e で取り出された文字を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、 \u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e で分割された細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とすると、どちらか一方に含まれる状態では \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態に遷移できますが、もう一方では不可能のため、区別可能だと分かります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最後に、区別可能な状態が同じ細分に含まれている状態でアルゴリズムが停止したとすると矛盾が生じることにより、このアルゴリズムが状態の集合を正しく区別不可能な部分集合に分割し、最小化が行えることを確認します。\nこのとき、細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に含まれる 2 つの状態 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2 \\in P\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が区別可能なとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の関係には次の 3 つの場合が考えられます。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003eある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e での \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の属する細分と、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の属する細分が異なる場合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003eある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e での一方の遷移先 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は存在するが、もう一方の遷移先は存在しない場合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e2 文字以上の文字列 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で一方からはじめた場合受理されるが、もう一方はそうではない場合。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e3 の場合はその文字列で遷移させていって、遷移先が別の細分になった、もしくは一方の遷移先が無くなったところで止めれば 1 か 2 の状況になります。\nなので 1 か 2 の場合だけを考えればよいです。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsubsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msubsup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.2481em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.4519em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2481em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分が分割されているということは、少なくともこのどちらかが待ちリストに入り、分割が行なわれるはずです。\nだとすると、 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1, q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分が分割されていない、ということはありえないため、矛盾が生じます。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e待ちリストが受理状態の集合とそれ以外の状態の集合から始まっているため、すべての状態についてそれを含む細分で一度は分割を行なっています。\nよって \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を含む細分も分割されていなければならず、矛盾が生じます。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e以上で Hopcroft のアルゴリズムの正当性を確認できました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに DFA の遷移関数が任意の状態、文字について遷移先が存在するような場合は 2 の場合分けが必要ないので、\n\u003ccode\u003e(3)\u003c/code\u003e で待ちリストに追加するのも大きさの小さい方だけで十分です。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e計算量\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e最悪計算量が状態数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に対して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となることを確認します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず \u003ccode\u003e(1)\u003c/code\u003e, \u003ccode\u003e(2)\u003c/code\u003e, \u003ccode\u003e(3)\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003e(5)\u003c/code\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で処理できることに注意してください。\nこれは単なるアルファベットに対するループであったり、遷移関数の各対応に対するループのためです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよって \u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e のループの計算量が支配的となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eループの中身 (つまり \u003ccode\u003e(4.1)\u003c/code\u003e から \u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e) の計算量は、取り出した文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で取り出した細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態へと遷移する状態の数と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に比例します。\nつまり \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e のいずれかの状態へと遷移する状態の個数として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(a_j + |P_j|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e です。\nなぜなら、\u003ccode\u003e(4.3)\u003c/code\u003e の \u003ccode\u003ePartitionRefinement#refine\u003c/code\u003e の計算量と戻り値の配列の大きさは与えられた集合の大きさに比例するのと、\n\u003ccode\u003e(4.2)\u003c/code\u003e の計算量は \u003ccode\u003e|P|\u003c/code\u003e の大きさに依存するからです。\nこの比例係数を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ek\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e細分が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1, P_2, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e まであり、ある文字 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(a, P_1), \\cdots, (a, P_r)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" 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mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e までが待ちリストに追加されていて、\n残りの \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e⋯\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_{r+1}, \\cdots, P_n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2083em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e⋯\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e との組は追加されていないような状況から、ループが終了するまでの計算量が次の式 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられると仮定します。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nT = k\\left[\\sum_{j=1}^r (a_j + |P_j|) \\log |P_j| + \\sum_{j=r+1}^n (a_j + |P_j|) \\log |P_j|/2\\right]\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:3.1638em;vertical-align:-1.4138em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e\u003cspan class=\"mopen delimcenter\" style=\"top:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"delimsizing size4\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-limits\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.6514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-1.8723em;margin-left:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol large-op\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-4.3em;margin-left:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.4138em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-limits\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.6514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-1.8723em;margin-left:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel mtight\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol large-op\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-4.3em;margin-left:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.05em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.4138em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\"\u003e\u003cspan class=\"delimsizing size4\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eこの式は突然出てきた感じがしますが、直感的には左の総和 (待ちリストに含まれてる方) は一回のループに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ek (a_j + |P_j|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かかる処理を、\nそれが分割されてまた待ちリストに入るため \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 回起こる可能性がある、ということを表していて、\n右の総和 (待ちリストに含まれていない方) は最初の 1 回のループが無い分 2 分の 1 にされている、というイメージになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sum a_j = n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e かつ \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sum |P_j| = n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop op-symbol small-op\" style=\"position:relative;top:0em;\"\u003e∑\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で、各 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|, \\log |P_j|/2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT \\le 2k n \\log n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8193em;vertical-align:-0.136em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ekn\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることは容易に分かるでしょう。\nよって、この式で抑えられることが正しいことを確かめたいです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以外の文字との組が取り出されて、その結果分割が起こった場合を考えます。\nこの場合の新たな計算量 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e^\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\hat{T}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord accent\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.2523em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"accent-body\" style=\"left:-0.1667em;\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は必ず \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下になります。\n待ちリストに含まれる細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が分割されたのであれば、分割した結果の細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_{j1}, P_{j2}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(a_j + |P_j|) \\log |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan 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mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となりますが、\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_{j1}|, \\log |P_{j2}|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\log |P_j|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e^\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\hat{T}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord accent\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9468em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-3.2523em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"accent-body\" style=\"left:-0.1667em;\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下と分かります。\n待ちリストに含まれない細分 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_k\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が分割された場合も、分割した結果の細分を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_{j1}, P_{j2}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、さらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|P_{j1}| \\le |P_{j2}|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として考えます。\nこの場合 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi 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style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e なので、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover 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class=\"mord\"\u003e^\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e 以下になることが確かめられます。\nよって他の文字との組で分割が起こる場合でも、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることが分かりました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最後に、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e についての帰納法で \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることを確かめましょう。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er = 0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の場合は待ちリストに存在しない場合なので、当然成り立ちます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e\u0026gt;\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er \u0026gt; 0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の場合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er-1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e までで成り立っているとして、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が待ちリストに入っていて、そこでちょうど取り出されるところで成り立つか考えます。\nこの場合の計算量は、帰納法の仮定より次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\"true\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmunderover\u003e\u003cmo\u003e∑\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/munderover\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo 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style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣/2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1514em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e より、これは \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e そのものです。\nよって、すべての \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003er\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003er\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e について \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で抑えられることが確認できました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上で、アルゴリズムの計算量が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることを確認しました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eまとめ\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eHopcroft のアルゴリズムの正しさと計算量が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(n \\log n)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e であることを確認しました。\n実は論文の内容ほとんどそのままなのですが、それなりに分かりやすく説明したつもりです。\nしいて違うところを挙げるなら、正当性の部分で完全でない DFA について考えているところと、計算量のところが論文では \u003ccode\u003e(4)\u003c/code\u003e の 1 回のループを \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ea_j\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ea\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に比例する時間で行えるとしているのですが、\n(少なくとも今回の実装では) あやしいと感じたので \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ej\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi 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vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.05724em;\"\u003ej\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2861em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e としているところです。\n論文にはソースコードも付属しているのですが、印刷の関係でほとんど読めないし、読めても古の ALGOL のコードを読むのはしんどいだろうな、と思うので、実際にどうなのかはよく分かってません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e論文には実装して行なった実験結果もあるのですが、実行環境が IBM System/360 モデル 67 とかで面白いです。\nでもその時代のプログラムでも、そこそこの大きさに対してちゃんと動いたんだなと感心する部分もあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eというわけで、この記事に最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2021-04-02-hopcroft-algorithm"},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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-<!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>ブログを Next.js へ移行しました | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="GatsbyJS で作られていたこのブログを Next.js に移行したので、技術スタックなどの説明をします。"/><meta property="og:title" content="ブログを Next.js へ移行しました | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-11-move-to-next-js"/><meta property="og:description" content="GatsbyJS で作られていたこのブログを Next.js に移行したので、技術スタックなどの説明をします。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-11-move-to-next-js.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" 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href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 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+<!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>ブログを Next.js へ移行しました | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="GatsbyJS で作られていたこのブログを Next.js に移行したので、技術スタックなどの説明をします。"/><meta property="og:title" content="ブログを Next.js へ移行しました | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-11-move-to-next-js"/><meta property="og:description" content="GatsbyJS で作られていたこのブログを Next.js に移行したので、技術スタックなどの説明をします。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-11-move-to-next-js.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" 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href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 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 放置している間にもいくつか記事にしたい事柄があったのですが、元の仕組みでは記事を書く気が起きず、結果的に 1 年近く放置することになってしまいました。</p>
 <p>この記事では「なぜ GatsbyJS から移行したのか」と「他のフレームワークを比較した結果」、そして「最終的な技術スタック」について説明します。</p>
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@@ -73,4 +73,4 @@ <h1>最終的な技術スタック</h1>
 Cloudflare Pages とかも面白そうだなと思ったのですが、慣れてる方がいいだろうし、なんか色々あって結局 GitHub Pages に戻ってる気がしたからです。</p>
 <p>この記事は以上になります。
 最後まで目を通していただきありがとうございました。</p>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2022-03-11</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 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--\u003e\n\u003ch1\u003eなぜ GatsbyJS から移行したのか\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこのブログは元々は \u003ca href=\"https://www.gatsbyjs.com\"\u003eGatsbyJS\u003c/a\u003e で書かれていました。\n当時の自分が GatsbyJS を選んだ理由は、恐らく慣れていたからだと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eGatsbyJS 自体は別にそんなに悪いとは思っていません。\nGraphQL で依存するリソースを記述するという考え方はビルドを最適化する上でそこまで間違った方針ではないと考えています。\n最近はやや JavaScript エコシステムの進化に追い付いていないような雰囲気もありますが、別に最先端を追わなければいけないわけじゃないので、そこまで大きな問題ではないはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eでは旧ブログの実装のなにが問題だったのかというと UI フレームワークに \u003ca href=\"https://chakra-ui.com\"\u003eChakra UI\u003c/a\u003e を使ったことと、パッケージマネージャーに \u003ca href=\"https://pnpm.io\"\u003ePNPM\u003c/a\u003e を選んだことが問題となっていました。\nChakra UI は tailwindcss の影響を受けたユーティリティ指向な React の UI フレームワークです。マージンなどを React のプロパティで設定できるのが便利だった気がします。\nPNPM はパッケージマネージャで、Yarn や NPM などと比べて高速に依存関係の解決を行なえるのが魅力でした。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれらが、GatsbyJS と微妙に相性が悪いのが問題となっていました。\n例えば、Chakra UI 公式のプラグイン (\u003ca href=\"https://www.npmjs.com/package/@chakra-ui/gatsby-plugin\"\u003e\u003ccode\u003e@chakra-ui/gatsby-plugin\u003c/code\u003e\u003c/a\u003e) があるのですが、自分が使った当時は過渡期なのか最新版の Chakra UI と組み合わせるとエラーが起こるし、それらを解決してもテーマを切り替えてからブラウザをリロードすると、一瞬デフォルトのテーマのスタイルになってしまう問題は最後まで解決できませんでした (なので途中でダークモードの切り替えを無効にしています)。\nまた、PNPM も GatsbyJS と相性が悪く、GatsbyJS と使うにはプラグインを入れる必要があります (\u003ca href=\"https://www.npmjs.com/package/gatsby-plugin-pnpm\"\u003e\u003ccode\u003egatsby-plugin-pnpm\u003c/code\u003e\u003c/a\u003e)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった問題がなかなかにストレスフルで、旧ブログにはあまり触れたくなく、いつか作り直したいという気持ちが高まっていました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e他のフレームワークを比較した結果\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eあくまでブログを作りたかったので、\u003ca href=\"https://docusaurus.io\"\u003eDocusaurus\u003c/a\u003e とか \u003ca href=\"https://vuepress.vuejs.org\"\u003eVuePress\u003c/a\u003e みたいなドキュメントジェネレータはそもそも検討していません。\nあしからず。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eGatsbyJS\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eそもそも GatsbyJS 自体はそんなに悪いと思っていないのなら、問題のあるライブラリなどを外して GatsbyJS で作り直せばいいんじゃない？　という意見もあるかと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれでも良かったのですが、GatsbyJS はビルドに Webpack を使っていて、2022 年の開発体験としては Webpack の速度はイケてないな、という気がしたので、今回は GatsbyJS 以外の選択肢を検討することにしました。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eAstro.build\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://astro.build\"\u003eAstro.build\u003c/a\u003e はビルド時に JavaScript などを実行して結果の HTML のみを配信することで、JavaScript なしのサイトを構築できる静的サイトビルダーです。\n\u003ca href=\"https://www.snowpack.dev\"\u003eSnowpack\u003c/a\u003e のところが作っているのですが、最近ビルドが Vite に切り替わったというのも注目のポイントです。\n他にも、スクロールを監視してコンポーネントが描画領域に入ったところで JavaScript をロードして実行するようにできたり、かなり先進的な特徴を持ったフレームワークのように思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e少し使ってみて良かったと感じたところは、React や Vue、Svelte など好きなライブラリでコンポーネントを記述して、組み合わせて使えるところがまず面白いと感じました。\nそれと、Astro.build 独自の \u003ccode\u003eastro\u003c/code\u003e ファイルのシンタックスも、スクリプト部分のインデントが 1 つ減るという意味で悪くないなと思いました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、\u003ccode\u003enpm init\u003c/code\u003e したあとのファイルをエディタで開くと、エディタではエラーになるけど実際はビルドできる、といったエコシステム周りで不十分なところがあったり、\nとくに致命的なところとして、組込みの Markdown サポートでは数式を含むものを上手く扱えないという問題がありました。\n後者は自前で Markdown をパースして追加すれば問題を回避できそうですが、そこまでやる必要はない気がしたのと、全体的にまだ未成熟な印象がしたので、今回は採用を見送ることにしました。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eSvelteKit\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://kit.svelte.dev\"\u003eSvelteKit\u003c/a\u003e は \u003ca href=\"https://svelte.dev\"\u003eSvelte\u003c/a\u003e 版の Next.js みたいなやつです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそんなに際立った個性があるようには思わないのですが、Svelte を使いたいのであれば悪くない選択肢だと思います。\n\u003ca href=\"https://github.com/makenowjust-labs/retest\"\u003eretest\u003c/a\u003e の開発で使ってみて、そこそこ使えるなという印象を受けました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e今回採用しなかったのは、正直に言うと Svelte の書き方にそこまで魅力を感じないというのが一番の理由です。\n基本的に状態を更新する部分は隠蔽するべきじゃない、という意見があります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eNuxt\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://nuxtjs.org\"\u003eNuxt\u003c/a\u003e は Vue 版の Next.js みたいなやつです。\n昔は Next.js よりも機能が多くて色々やれた気がするのだけど、今はそんなに変わらない気がします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e選ばなかった理由は Vue よりも React を使いたかったからです。\nでも最近 Vue 書いてないな‥‥。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eNext.js\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eというわけで \u003ca href=\"https://nextjs.org\"\u003eNext.js\u003c/a\u003e です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e選んだ理由としては、昔使ったときは微妙だった、というかフレームワークとしてもライブラリとしても中途半端な印象だったのだけど、最近はそうでもなさそうな気がしたので、触れてみたいと思ったからです。\n他にも tailwindcss を使ってみたかったというのもあります。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e最終的な技術スタック\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eそんなこんなで Next.js でブログを作り直しました。\n実装的には別にすごいことはしていません。\n実装の Pull Request は\u003ca href=\"https://github.com/makenowjust-labs/blog/pull/75\"\u003eこちら\u003c/a\u003eになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e使ったライブラリは次のような感じです。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://tailwindcss.com\"\u003etailwindcss\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://daisyui.com\"\u003edaisyUI\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca 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--\u003e\n\u003ch1\u003eなぜ GatsbyJS から移行したのか\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eこのブログは元々は \u003ca href=\"https://www.gatsbyjs.com\"\u003eGatsbyJS\u003c/a\u003e で書かれていました。\n当時の自分が GatsbyJS を選んだ理由は、恐らく慣れていたからだと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eGatsbyJS 自体は別にそんなに悪いとは思っていません。\nGraphQL で依存するリソースを記述するという考え方はビルドを最適化する上でそこまで間違った方針ではないと考えています。\n最近はやや JavaScript エコシステムの進化に追い付いていないような雰囲気もありますが、別に最先端を追わなければいけないわけじゃないので、そこまで大きな問題ではないはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eでは旧ブログの実装のなにが問題だったのかというと UI フレームワークに \u003ca href=\"https://chakra-ui.com\"\u003eChakra UI\u003c/a\u003e を使ったことと、パッケージマネージャーに \u003ca href=\"https://pnpm.io\"\u003ePNPM\u003c/a\u003e を選んだことが問題となっていました。\nChakra UI は tailwindcss の影響を受けたユーティリティ指向な React の UI フレームワークです。マージンなどを React のプロパティで設定できるのが便利だった気がします。\nPNPM はパッケージマネージャで、Yarn や NPM などと比べて高速に依存関係の解決を行なえるのが魅力でした。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれらが、GatsbyJS と微妙に相性が悪いのが問題となっていました。\n例えば、Chakra UI 公式のプラグイン (\u003ca href=\"https://www.npmjs.com/package/@chakra-ui/gatsby-plugin\"\u003e\u003ccode\u003e@chakra-ui/gatsby-plugin\u003c/code\u003e\u003c/a\u003e) があるのですが、自分が使った当時は過渡期なのか最新版の Chakra UI と組み合わせるとエラーが起こるし、それらを解決してもテーマを切り替えてからブラウザをリロードすると、一瞬デフォルトのテーマのスタイルになってしまう問題は最後まで解決できませんでした (なので途中でダークモードの切り替えを無効にしています)。\nまた、PNPM も GatsbyJS と相性が悪く、GatsbyJS と使うにはプラグインを入れる必要があります (\u003ca href=\"https://www.npmjs.com/package/gatsby-plugin-pnpm\"\u003e\u003ccode\u003egatsby-plugin-pnpm\u003c/code\u003e\u003c/a\u003e)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった問題がなかなかにストレスフルで、旧ブログにはあまり触れたくなく、いつか作り直したいという気持ちが高まっていました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e他のフレームワークを比較した結果\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eあくまでブログを作りたかったので、\u003ca href=\"https://docusaurus.io\"\u003eDocusaurus\u003c/a\u003e とか \u003ca href=\"https://vuepress.vuejs.org\"\u003eVuePress\u003c/a\u003e みたいなドキュメントジェネレータはそもそも検討していません。\nあしからず。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eGatsbyJS\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eそもそも GatsbyJS 自体はそんなに悪いと思っていないのなら、問題のあるライブラリなどを外して GatsbyJS で作り直せばいいんじゃない？　という意見もあるかと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれでも良かったのですが、GatsbyJS はビルドに Webpack を使っていて、2022 年の開発体験としては Webpack の速度はイケてないな、という気がしたので、今回は GatsbyJS 以外の選択肢を検討することにしました。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eAstro.build\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://astro.build\"\u003eAstro.build\u003c/a\u003e はビルド時に JavaScript などを実行して結果の HTML のみを配信することで、JavaScript なしのサイトを構築できる静的サイトビルダーです。\n\u003ca href=\"https://www.snowpack.dev\"\u003eSnowpack\u003c/a\u003e のところが作っているのですが、最近ビルドが Vite に切り替わったというのも注目のポイントです。\n他にも、スクロールを監視してコンポーネントが描画領域に入ったところで JavaScript をロードして実行するようにできたり、かなり先進的な特徴を持ったフレームワークのように思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e少し使ってみて良かったと感じたところは、React や Vue、Svelte など好きなライブラリでコンポーネントを記述して、組み合わせて使えるところがまず面白いと感じました。\nそれと、Astro.build 独自の \u003ccode\u003eastro\u003c/code\u003e ファイルのシンタックスも、スクリプト部分のインデントが 1 つ減るという意味で悪くないなと思いました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、\u003ccode\u003enpm init\u003c/code\u003e 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 <!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術 | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="JavaScript の単純な minification を越えた自己解凍的圧縮技術である、
 JS Crush や Roadroller について、その内部で使われているテクニックも含めて解説します。"/><meta property="og:title" content="JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術 | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-21-javascript-crush"/><meta property="og:description" content="JavaScript の単純な minification を越えた自己解凍的圧縮技術である、
-JS Crush や Roadroller について、その内部で使われているテクニックも含めて解説します。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-21-javascript-crush.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>JavaScript のソースコードを小さくする方法として <a href="https://github.com/mishoo/UglifyJS">UglifyJS</a> や <a href="https://github.com/terser/terser">Terser</a> といった minification ツールを用いるものが良く知られています。
+JS Crush や Roadroller について、その内部で使われているテクニックも含めて解説します。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-03-21-javascript-crush.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>JavaScript のソースコードを小さくする方法として <a href="https://github.com/mishoo/UglifyJS">UglifyJS</a> や <a href="https://github.com/terser/terser">Terser</a> といった minification ツールを用いるものが良く知られています。
 これらはソースコード中の空白やコメントを削除し、変数名などを短い形式にすることで、ソースコードを小さくしています。</p>
 <p>こういった minification ツールを適用し、さらに GZip などで圧縮して配信するのが今日の Web での標準的な方法となっています。
 ですが、JavaScript を圧縮できる可能性のある方法として、自己解凍的な圧縮技術を用いる、というアイディアがあります。</p>
@@ -136,4 +136,4 @@ <h1>あとがき</h1>
 誰か教えてください。</p>
 <p>いつか書こうと思っていた h.js のタネ明かし記事を書けて良かったです。
 最後まで目を通していただきありがとうございました。</p>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2022-03-21</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 0-30.1-.9-45.1-3.2-18.7-2.6-37-6-56-6-46.8 0-73.5 38.7-73.5 82.6 0 87.8 80.4 101.3 150.4 101.3h48.2c70.3 0 150.6-13.4 150.6-101.3zm-82.6-55.1c-25.8 0-36.7 34.2-36.7 55.1s10.9 55.1 36.7 55.1 36.7-34.2 36.7-55.1-10.9-55.1-36.7-55.1z"></path></svg></a><a href="https://twitter.com/make_now_just" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 512 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M459.37 151.716c.325 4.548.325 9.097.325 13.645 0 138.72-105.583 298.558-298.558 298.558-59.452 0-114.68-17.219-161.137-47.106 8.447.974 16.568 1.299 25.34 1.299 49.055 0 94.213-16.568 130.274-44.832-46.132-.975-84.792-31.188-98.112-72.772 6.498.974 12.995 1.624 19.818 1.624 9.421 0 18.843-1.3 27.614-3.573-48.081-9.747-84.143-51.98-84.143-102.985v-1.299c13.969 7.797 30.214 12.67 47.431 13.319-28.264-18.843-46.781-51.005-46.781-87.391 0-19.492 5.197-37.36 14.294-52.954 51.655 63.675 129.3 105.258 216.365 109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2022-03-21-javascript-crush","title":"JavaScript のソースコードを (意地でも) 小さくする技術","created":"2022-03-21","description":"JavaScript の単純な minification を越えた自己解凍的圧縮技術である、\nJS Crush や Roadroller について、その内部で使われているテクニックも含めて解説します。","content":"\u003cp\u003eJavaScript のソースコードを小さくする方法として \u003ca href=\"https://github.com/mishoo/UglifyJS\"\u003eUglifyJS\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/terser/terser\"\u003eTerser\u003c/a\u003e といった minification ツールを用いるものが良く知られています。\nこれらはソースコード中の空白やコメントを削除し、変数名などを短い形式にすることで、ソースコードを小さくしています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった minification ツールを適用し、さらに GZip などで圧縮して配信するのが今日の Web での標準的な方法となっています。\nですが、JavaScript を圧縮できる可能性のある方法として、自己解凍的な圧縮技術を用いる、というアイディアがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、そういった自己解凍的な圧縮技術として \u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e について紹介します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003eはじめに\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e\u003cem\u003eこの辺りは与太話なので飛ばしていただいても構いません。\u003c/em\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://h.js.org/\"\u003eh.js\u003c/a\u003e という JavaScript のシンタックスハイライティングライブラリをご存知でしょうか？\n1.5KB 程度という軽量のライブラリで、比較的高速に JavaScript のシンタックスハイライトが行えます。\nまた、最新の構文にもそこそこちゃんと対応しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそして、このライブラリの最大の特徴は、そのソースコードの形状です。\nこのライブラリのソースコードは ASCII アートになっていて、h.js という文字を表しているのが分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://h.js.org/\"\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2022-03-21-javascript-crush/h-js.png\" alt=\"h.js のサイトのスクリーンショット\"\u003e\u003c/a\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eソースコードの形状自体はテンプレートリテラルを使っているだけなので大したものではないのですが、実はこのソースコードは圧縮されています。\n実際、最後の方の \u003ccode\u003eeval\u003c/code\u003e を \u003ccode\u003econsole.log\u003c/code\u003e に置き換えると 1900 文字程度のソースコードが出現するはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eさて、このソースコードをよく見ていると、シンタックスハイライトの実装が細切れのようになっているのが分かると思います。\n一体どのようにして圧縮を、そしてソースコードの中で解凍を実現しているのでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eJavaScript を圧縮するツールとしては老舗で、Aivo Pass 氏が公開しているものです。\n1KB 以下の JavaScript のプログラムのコンテスト \u003ca href=\"https://js1k.com\"\u003eJS1K\u003c/a\u003e でもよく使われていて、\nなんとこの \u003ca href=\"https://js1k.com/2012-love/demo/1127\"\u003eJS Crush 自体を 1KB で実装したもの\u003c/a\u003e も 2012 年のコンテストで 5 位を受賞しています。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eGrammar-Based Code\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush の背景にある圧縮のアイディアは非常に単純で「出現頻度の高い部分文字列を別の記号で置き換えることで、元の文字列よりも短い表現を得る」というものになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e例として \u003ccode\u003eabcdefabcef\u003c/code\u003e という文字列を圧縮することを考えましょう。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの文字列の中で、出現頻度が高くて長さもある部分文字列は \u003ccode\u003eabc\u003c/code\u003e なので、これを \u003ccode\u003eA\u003c/code\u003e で置き換えます。\nすると文字列は \u003ccode\u003eAdefAef\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc\u003c/code\u003e となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、文字列中の \u003ccode\u003eef\u003c/code\u003e を \u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e で置き換えると、さらに縮みそうです。\nこれを適用すると、文字列は \u003ccode\u003eAdBAB\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc, B=ef\u003c/code\u003e となります。\nさらに、より縮められそうな部分がもうないので、これが圧縮された表現となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよく出現する部分文字列を 1 文字の記号に置き換えれば文字列が短くなる、というのはシンプルで分かりやすいアイディアなのではないかと思います。\nそして、このような圧縮方法と表現を \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Grammar-based_code\"\u003eGrammar-Based Code\u003c/a\u003e と呼びます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eただし、部分文字列の置き換えは再帰的に行われる可能性がある、ということに注意してください。\n例えば \u003ccode\u003eabcabdabcabd\u003c/code\u003e という文字列は \u003ccode\u003eAA\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=BcBd, B=ab\u003c/code\u003e という表現に圧縮されます。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e解凍方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e解凍はとても簡単です。\n置き換えた記号と対応する文字列の組 (文法) が与えられれば、それらを圧縮された文字列に対して置き換えていくことで、元の文字列が得られます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、実装する上では「どのように文法を表現するか」と「解凍をどのように小さく実装するか」が問題となります。\n圧縮された文字列が小さくても、文法が大きくなってしまったり、解凍のためのコードの量が増えてしまっては仕方がありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそこで、文法を圧縮された文字列の末尾に追加していくことを考えます。\n先程の例の場合は \u003ccode\u003eAdBAB\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc, B=ef\u003c/code\u003e なので \u003ccode\u003eAdBABAabcBef\u003c/code\u003e のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここで、\u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e を置き換えたい場合 \u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e に対応する文字列は \u003ccode\u003esplit('B')\u003c/code\u003e として作った配列を \u003ccode\u003epop\u003c/code\u003e すれば得られます。\nさらに、配列の残りの要素をその文字列で \u003ccode\u003ejoin\u003c/code\u003e すれば、置き換えまで完了します。\n具体的には \u003ccode\u003ec = \u0026quot;AdBABAabcBef\u0026quot;.split('B') = [\u0026quot;Adb\u0026quot;, \u0026quot;A\u0026quot;, \u0026quot;Aabc\u0026quot;, \u0026quot;ef\u0026quot;]\u003c/code\u003e で \u003ccode\u003ec.pop() === \u0026quot;ef\u0026quot;\u003c/code\u003e なので、 \u003ccode\u003ec.join(c.pop()) === \u0026quot;AdefAef\u0026quot;\u003c/code\u003e となり、\u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e の置き換えを行なったあとの文字列になっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eあとは置き換える記号を別で持っておいて、それを順番に適用すればいいことになります。\nよって、最終的なコードは次のような形になります。\nJS Crush が出力するコードや h.js のソースコードも、よく見るとこのような形になっていることが分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-javascript\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;圧縮された文字列\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;置き換える記号列\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003eeval\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e...\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ereduce\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e (\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003esplic\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ejoin\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003epop\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e())\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e展開の部分がとても短いのが分かるでしょう。\n空白を除くと 52B しかないので、それよりも圧縮で縮むのであれば、ソースコードを小さくできるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e圧縮方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e圧縮に関してはそれほど面白い部分はありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush では、文字列中の全ての部分文字列について出現回数を調べて、圧縮することで何バイト程度減るかを計算し、それが最も大きくなるものを選ぶ、というのを圧縮できるものか、ソースコード中に含まれない文字が無くなるまで繰り返しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれはかなり非効率的なアルゴリズムなのですが、数千バイト程度の入力であればどうにか動作します。\n入力がより大きくなった場合には、もしかしたら時間がかかりすぎるかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e比較的最近の JavaScript の圧縮ツールとして \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e というものも知られています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれは圧縮方法に rANS とコンテキストミキシングを使ったもので、解凍部分のコードはやや大きいものの、\nJS Crush よりも高い圧縮率を誇るため、多くの場合より小さなソースコードが得られます。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003erANS\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003erANS は Range variant Asymmetric Numeral System の略で、Jarosław Duda が 2014 年に発表した \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_numeral_systems\"\u003eAsymmetric Numeral System (ANS)\u003c/a\u003e の一種です。\nANS 自体は Facebook の Zstandard などで使われている圧縮手法でもあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eANS の核となるアイディアは、そこまで難しくありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次のようなコインを使った遊びを考えます。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e       表: k=[ 0] : n\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003ed=[ 1]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e       裏: l=[ 0] : m\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003eコインを振って、表が出た場合は表のカウンターを 1 増やす、裏が出た場合は裏のカウンターを 1 増やします。\nさらに、裏表のカウンターがその右の数字 (表なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、裏なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) 以上になったときに、左のカウンターを 1 増やして、そのカウンターは 0 に戻します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最終的な得点を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ed\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003el\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(n + m)^d + (k + l)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0991em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8491em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ed\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.01968em;\"\u003el\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\nコインの裏表の出る確率が分かっていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をプレイヤーが設定できるとして、この得点をなるべく小さくするにはどうすればいいでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eもしコインの裏表が出る確率が同様に確からしいのであれば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en=m=1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e にするのがよいはずです。\n一方、表が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e3/4\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3/4\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で裏が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e1/4\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1/4\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で出るような偏ったコインであれば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en=3, m=1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、\n表が出たときに左のカウンタが進むのを遅らせたほうがいいというのも分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここでコインの裏表をビット列の 0 と 1 に置き替えると、この \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の割り当てが圧縮方法となっていることがイメージできないでしょうか？\n通常のバイナリ表現では 1 つの桁で 0 と 1 を 1 つずつしか数えられませんが、\n仮想的な桁を増やしてでも、出現しやすいビットを多く数えられるようにすることで、効率的な圧縮表現になるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上が ANS の基本的な考え方になります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそして、この考え方を使いつつ、元のデータ (さっきの例えでは表と裏の出た順序) を復元できる方法の 1 つが rANS です。\n他の方法は Uniform binary variant (uANS) や Tabled variant (tANS) などがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e追加するビットが 0 の確率を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌊\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌋\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep_0 = \\lfloor P \\times 2^N \\rfloor | 1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e⌊\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e×\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0913em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e⌋\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします (\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eN\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は適当に決めてください)。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e2^N\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を掛けているのは自然数にするためで、1 をビット和しているのは割り算で使うからです。\n1 の確率は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1 = 1 - P_0, p_1 = 2^N - p_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9247em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となります。\nさらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ec_0 = 0, c_1 = p_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき符号化中の自然数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に、ビット \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eb\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を追加する符号化関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌊\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌋\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e\u0026lt;\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e\u0026lt;\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eo\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ed\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nC(x, b) = (\\lfloor x / p_b \\rfloor \u0026lt;\u0026lt; N) + \\mathrm{mod}(x, p_b) + c_b\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(⌊\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e/\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e⌋\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\"\u003emod\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e一方、自然数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を受け取って、1 つ前の自然数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と出力 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eb\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を得る復号化関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmtable rowspacing=\"0.16em\" columnalign=\"right left\" columnspacing=\"1em\"\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eh\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ee\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e\u0026gt;\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e\u0026gt;\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e\u0026amp;\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ef\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e\u0026amp;\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo 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class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\"\u003eelse\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.1513em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eなんとなく \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で符号化できていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がそれを戻しているというのが伝われば OK です。\nなお、これを実際に計算すると値がとても大きくなってしまうので、実際には適切な単位で別バッファに出力す必要があります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eコンテキスト・ミキシング\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eさて、0 と 1 の出る確率さえ分かれば、上記の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で符号化して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で復号化できることは分かりました。\n問題は、どうやって 0 や 1 の出現する確率を知ればいいのでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそもそも、圧縮したい文字列全体で見たら 0 と 1 の割合が偏っていることは稀です。\nよって、各ビット毎の予測を学習することを考えます。\n1 ビット毎に予測していたら各符号化で確率 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_0, P_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e が変化することになりますが、\n符号化を逆順にして、復号する際にも同様の学習を行えば、問題なく復号化が行えます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eというわけで、このようなデータ圧縮でのビット予測に使われる機械学習の手法がコンテキスト・ミキシングです。\nこれは複数の予測をいい感じに混ぜ合わせて、より適切な予測結果を求めるものになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそろそろ記事も長くなってきたし、これは機械学習の記事ではないので、詳しい解説は \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Context_mixing\"\u003eWikipedia の記事\u003c/a\u003e に譲りたいと思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eともかく、復号時にも同様に学習を行うことで、rANS の復号化を確率のテーブルなどを持たずに行える、ということを覚えておいてください。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e実際の解凍コード\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eこれは、さすがに JS Crush よりも複雑になります。\nというより複雑すぎてここで説明するのは無理なので、\u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller/blob/442caa46ebbeb2ba8aaaae200fd9166802f41e9f/index.mjs#L1040-L1312\"\u003e実際の Roadroller のコードを見る\u003c/a\u003eのが一番分かりやすいかと思います。\nそれなりにコメントもあるので、がんばれば読めないこともないでしょう。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、圧縮されたコードでは、この解凍部分は 600B ほどあります。\nそれでも多くの場合で JS Crush よりも小さな結果となるので、rANS とコンテキスト・ミキシングの圧縮効率が優れているのだということが分かります。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e最後の方はやや駆け足になってしまいましたが、JavaScript の圧縮手法について解説させていただきました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここまでの記事では伝え切れなかったのですが、実際にソースコードを短かくするためには、元のソースコードにもいくつか工夫をする必要がある場合もあります。\n例えば JS Crush では、重複する部分を小さくしているので、手で極限まで短く書いたコードよりも、あえて重複する部分を作った冗長なコードの方が短くなる、といったことがよくあります。\nJS Crush のサイトには関数のシグネチャ (引数名) を揃えるようにするといい、といったアドバイスがありますし、h.js でもバックスラッシュでのエスケープが必要な文字をやや過剰にエスケープすることで、そうしない場合よりも短くなるようにしていたりします。\n他にも、置き替える記号が足りなくならないように、元のソースコード上で使う文字の種類を減らすことなども有効だったりします (そうすることで冗長になる部分も多いので一石二鳥です)。\nRoadroller はあまり使ったことがないので分かりませんが、同じような注意点があるかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eなお、h.js で使っている圧縮の実装は JS Crush ではなくて自分で実装したオリジナルのもの (未公開) です。\nわりとひどいコードなので公開予定はありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの圧縮方法を自分がはじめて知ったのは JS1K に投稿された \u003ca href=\"https://js1k.com/2012-love/demo/1282\"\u003eMine[love]Craft\u003c/a\u003e という作品を見たときでした。\nこの作品は JS Crush で圧縮されていて、この圧縮方法を自分でも使ってみたい、と思って作ったのが h.js になります。\n\u003ca href=\"http://ehouais.net/2012/03/js1k-2012-part-1-introduction\"\u003eMine[love]Craft の作者による解説\u003c/a\u003e も興味深いものなので、是非読んでみてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush より前の JavaScript の圧縮の実装としては \u003ca href=\"https://code.google.com/archive/p/jssfx/\"\u003ejssfx\u003c/a\u003e という Python のスクリプトがあるみたいです。\nまた、このような圧縮方法自体は JavaScript にそこまで依存していないため、他の言語 (例えば Perl) で使われていたテクニックなのではないかと思ったのですが、どうやって調べればいいのか分からなかったので、よく分かっていません。\nここは有識者の意見が求められます。\n誰か教えてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eいつか書こうと思っていた h.js のタネ明かし記事を書けて良かったです。\n最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2022-03-21-javascript-crush"},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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ツールを用いるものが良く知られています。\nこれらはソースコード中の空白やコメントを削除し、変数名などを短い形式にすることで、ソースコードを小さくしています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこういった minification ツールを適用し、さらに GZip などで圧縮して配信するのが今日の Web での標準的な方法となっています。\nですが、JavaScript を圧縮できる可能性のある方法として、自己解凍的な圧縮技術を用いる、というアイディアがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では、そういった自己解凍的な圧縮技術として \u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e について紹介します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003eはじめに\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e\u003cem\u003eこの辺りは与太話なので飛ばしていただいても構いません。\u003c/em\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://h.js.org/\"\u003eh.js\u003c/a\u003e という JavaScript のシンタックスハイライティングライブラリをご存知でしょうか？\n1.5KB 程度という軽量のライブラリで、比較的高速に JavaScript のシンタックスハイライトが行えます。\nまた、最新の構文にもそこそこちゃんと対応しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそして、このライブラリの最大の特徴は、そのソースコードの形状です。\nこのライブラリのソースコードは ASCII アートになっていて、h.js という文字を表しているのが分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://h.js.org/\"\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2022-03-21-javascript-crush/h-js.png\" alt=\"h.js のサイトのスクリーンショット\"\u003e\u003c/a\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eソースコードの形状自体はテンプレートリテラルを使っているだけなので大したものではないのですが、実はこのソースコードは圧縮されています。\n実際、最後の方の \u003ccode\u003eeval\u003c/code\u003e を \u003ccode\u003econsole.log\u003c/code\u003e に置き換えると 1900 文字程度のソースコードが出現するはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eさて、このソースコードをよく見ていると、シンタックスハイライトの実装が細切れのようになっているのが分かると思います。\n一体どのようにして圧縮を、そしてソースコードの中で解凍を実現しているのでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ca href=\"http://www.iteral.com/jscrush/\"\u003eJS Crush\u003c/a\u003e\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eJavaScript を圧縮するツールとしては老舗で、Aivo Pass 氏が公開しているものです。\n1KB 以下の JavaScript のプログラムのコンテスト \u003ca href=\"https://js1k.com\"\u003eJS1K\u003c/a\u003e でもよく使われていて、\nなんとこの \u003ca href=\"https://js1k.com/2012-love/demo/1127\"\u003eJS Crush 自体を 1KB で実装したもの\u003c/a\u003e も 2012 年のコンテストで 5 位を受賞しています。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eGrammar-Based Code\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush の背景にある圧縮のアイディアは非常に単純で「出現頻度の高い部分文字列を別の記号で置き換えることで、元の文字列よりも短い表現を得る」というものになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e例として \u003ccode\u003eabcdefabcef\u003c/code\u003e という文字列を圧縮することを考えましょう。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの文字列の中で、出現頻度が高くて長さもある部分文字列は \u003ccode\u003eabc\u003c/code\u003e なので、これを \u003ccode\u003eA\u003c/code\u003e で置き換えます。\nすると文字列は \u003ccode\u003eAdefAef\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc\u003c/code\u003e となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、文字列中の \u003ccode\u003eef\u003c/code\u003e を \u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e で置き換えると、さらに縮みそうです。\nこれを適用すると、文字列は \u003ccode\u003eAdBAB\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc, B=ef\u003c/code\u003e となります。\nさらに、より縮められそうな部分がもうないので、これが圧縮された表現となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eよく出現する部分文字列を 1 文字の記号に置き換えれば文字列が短くなる、というのはシンプルで分かりやすいアイディアなのではないかと思います。\nそして、このような圧縮方法と表現を \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Grammar-based_code\"\u003eGrammar-Based Code\u003c/a\u003e と呼びます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eただし、部分文字列の置き換えは再帰的に行われる可能性がある、ということに注意してください。\n例えば \u003ccode\u003eabcabdabcabd\u003c/code\u003e という文字列は \u003ccode\u003eAA\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=BcBd, B=ab\u003c/code\u003e という表現に圧縮されます。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e解凍方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e解凍はとても簡単です。\n置き換えた記号と対応する文字列の組 (文法) が与えられれば、それらを圧縮された文字列に対して置き換えていくことで、元の文字列が得られます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eしかし、実装する上では「どのように文法を表現するか」と「解凍をどのように小さく実装するか」が問題となります。\n圧縮された文字列が小さくても、文法が大きくなってしまったり、解凍のためのコードの量が増えてしまっては仕方がありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそこで、文法を圧縮された文字列の末尾に追加していくことを考えます。\n先程の例の場合は \u003ccode\u003eAdBAB\u003c/code\u003e と \u003ccode\u003eA=abc, B=ef\u003c/code\u003e なので \u003ccode\u003eAdBABAabcBef\u003c/code\u003e のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここで、\u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e を置き換えたい場合 \u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e に対応する文字列は \u003ccode\u003esplit('B')\u003c/code\u003e として作った配列を \u003ccode\u003epop\u003c/code\u003e すれば得られます。\nさらに、配列の残りの要素をその文字列で \u003ccode\u003ejoin\u003c/code\u003e すれば、置き換えまで完了します。\n具体的には \u003ccode\u003ec = \u0026quot;AdBABAabcBef\u0026quot;.split('B') = [\u0026quot;Adb\u0026quot;, \u0026quot;A\u0026quot;, \u0026quot;Aabc\u0026quot;, \u0026quot;ef\u0026quot;]\u003c/code\u003e で \u003ccode\u003ec.pop() === \u0026quot;ef\u0026quot;\u003c/code\u003e なので、 \u003ccode\u003ec.join(c.pop()) === \u0026quot;AdefAef\u0026quot;\u003c/code\u003e となり、\u003ccode\u003eB\u003c/code\u003e の置き換えを行なったあとの文字列になっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eあとは置き換える記号を別で持っておいて、それを順番に適用すればいいことになります。\nよって、最終的なコードは次のような形になります。\nJS Crush が出力するコードや h.js のソースコードも、よく見るとこのような形になっていることが分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-javascript\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003er\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;圧縮された文字列\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;置き換える記号列\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003eeval\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e...\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ereduce\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e (\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003esplic\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003ejoin\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003epop\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e())\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003es\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e展開の部分がとても短いのが分かるでしょう。\n空白を除くと 52B しかないので、それよりも圧縮で縮むのであれば、ソースコードを小さくできるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e圧縮方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e圧縮に関してはそれほど面白い部分はありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush では、文字列中の全ての部分文字列について出現回数を調べて、圧縮することで何バイト程度減るかを計算し、それが最も大きくなるものを選ぶ、というのを圧縮できるものか、ソースコード中に含まれない文字が無くなるまで繰り返しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれはかなり非効率的なアルゴリズムなのですが、数千バイト程度の入力であればどうにか動作します。\n入力がより大きくなった場合には、もしかしたら時間がかかりすぎるかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e比較的最近の JavaScript の圧縮ツールとして \u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller\"\u003eRoadroller\u003c/a\u003e というものも知られています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれは圧縮方法に rANS とコンテキストミキシングを使ったもので、解凍部分のコードはやや大きいものの、\nJS Crush よりも高い圧縮率を誇るため、多くの場合より小さなソースコードが得られます。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003erANS\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003erANS は Range variant Asymmetric Numeral System の略で、Jarosław Duda が 2014 年に発表した \u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_numeral_systems\"\u003eAsymmetric Numeral System (ANS)\u003c/a\u003e の一種です。\nANS 自体は Facebook の Zstandard などで使われている圧縮手法でもあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eANS の核となるアイディアは、そこまで難しくありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次のようなコインを使った遊びを考えます。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e       表: k=[ 0] : n\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003ed=[ 1]\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e       裏: l=[ 0] : m\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #e0def4\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003eコインを振って、表が出た場合は表のカウンターを 1 増やす、裏が出た場合は裏のカウンターを 1 増やします。\nさらに、裏表のカウンターがその右の数字 (表なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e、裏なら \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) 以上になったときに、左のカウンターを 1 増やして、そのカウンターは 0 に戻します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e最終的な得点を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ed\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ek\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003el\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e(n + m)^d + (k + l)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0991em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8491em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ed\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03148em;\"\u003ek\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.01968em;\"\u003el\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\nコインの裏表の出る確率が分かっていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e をプレイヤーが設定できるとして、この得点をなるべく小さくするにはどうすればいいでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eもしコインの裏表が出る確率が同様に確からしいのであれば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en=m=1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e にするのがよいはずです。\n一方、表が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e3/4\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3/4\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で裏が \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e1/4\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1/4\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で出るような偏ったコインであれば、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en=3, m=1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、\n表が出たときに左のカウンタが進むのを遅らせたほうがいいというのも分かると思います。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここでコインの裏表をビット列の 0 と 1 に置き替えると、この \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003en\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003en\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e と \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003em\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003em\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003em\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e の割り当てが圧縮方法となっていることがイメージできないでしょうか？\n通常のバイナリ表現では 1 つの桁で 0 と 1 を 1 つずつしか数えられませんが、\n仮想的な桁を増やしてでも、出現しやすいビットを多く数えられるようにすることで、効率的な圧縮表現になるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e以上が ANS の基本的な考え方になります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそして、この考え方を使いつつ、元のデータ (さっきの例えでは表と裏の出た順序) を復元できる方法の 1 つが rANS です。\n他の方法は Uniform binary variant (uANS) や Tabled variant (tANS) などがあります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e追加するビットが 0 の確率を \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌊\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌋\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ep_0 = \\lfloor P \\times 2^N \\rfloor | 1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e⌊\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e×\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0913em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e⌋\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします (\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eN\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は適当に決めてください)。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e2^N\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を掛けているのは自然数にするためで、1 をビット和しているのは割り算で使うからです。\n1 の確率は \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_1 = 1 - P_0, p_1 = 2^N - p_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9247em;vertical-align:-0.0833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e となります。\nさらに \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ec_0 = 0, c_1 = p_0\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e とします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき符号化中の自然数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e に、ビット \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eb\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を追加する符号化関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌊\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e⌋\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e\u0026lt;\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e\u0026lt;\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eN\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003em\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eo\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003ed\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ep\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nC(x, b) = (\\lfloor x / p_b \\rfloor \u0026lt;\u0026lt; N) + \\mathrm{mod}(x, p_b) + c_b\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(⌊\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e/\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e⌋\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u0026lt;\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\"\u003emod\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ex\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 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\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eb\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e を得る復号化関数 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmtable rowspacing=\"0.16em\" columnalign=\"right left\" columnspacing=\"1em\"\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo 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style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ec\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-1.2087em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\" style=\"margin-right:0.07778em;\"\u003eif\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u0026amp;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8413em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.10903em;\"\u003eN\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ep\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\"\u003ethen\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathrm\"\u003eelse\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.1513em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eなんとなく \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で符号化できていて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e がそれを戻しているというのが伝われば OK です。\nなお、これを実際に計算すると値がとても大きくなってしまうので、実際には適切な単位で別バッファに出力す必要があります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eコンテキスト・ミキシング\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eさて、0 と 1 の出る確率さえ分かれば、上記の \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eC\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eC(x, b)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.07153em;\"\u003eC\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eb\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で符号化して \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eD\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eD(x\u0026#x27;)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eD\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ex\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e で復号化できることは分かりました。\n問題は、どうやって 0 や 1 の出現する確率を知ればいいのでしょうか？\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそもそも、圧縮したい文字列全体で見たら 0 と 1 の割合が偏っていることは稀です。\nよって、各ビット毎の予測を学習することを考えます。\n1 ビット毎に予測していたら各符号化で確率 \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eP_0, P_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eP\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan 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JS Crush よりも複雑になります。\nというより複雑すぎてここで説明するのは無理なので、\u003ca href=\"https://github.com/lifthrasiir/roadroller/blob/442caa46ebbeb2ba8aaaae200fd9166802f41e9f/index.mjs#L1040-L1312\"\u003e実際の Roadroller のコードを見る\u003c/a\u003eのが一番分かりやすいかと思います。\nそれなりにコメントもあるので、がんばれば読めないこともないでしょう。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、圧縮されたコードでは、この解凍部分は 600B ほどあります。\nそれでも多くの場合で JS Crush よりも小さな結果となるので、rANS とコンテキスト・ミキシングの圧縮効率が優れているのだということが分かります。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e最後の方はやや駆け足になってしまいましたが、JavaScript の圧縮手法について解説させていただきました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここまでの記事では伝え切れなかったのですが、実際にソースコードを短かくするためには、元のソースコードにもいくつか工夫をする必要がある場合もあります。\n例えば JS Crush では、重複する部分を小さくしているので、手で極限まで短く書いたコードよりも、あえて重複する部分を作った冗長なコードの方が短くなる、といったことがよくあります。\nJS Crush のサイトには関数のシグネチャ (引数名) を揃えるようにするといい、といったアドバイスがありますし、h.js でもバックスラッシュでのエスケープが必要な文字をやや過剰にエスケープすることで、そうしない場合よりも短くなるようにしていたりします。\n他にも、置き替える記号が足りなくならないように、元のソースコード上で使う文字の種類を減らすことなども有効だったりします (そうすることで冗長になる部分も多いので一石二鳥です)。\nRoadroller はあまり使ったことがないので分かりませんが、同じような注意点があるかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eなお、h.js で使っている圧縮の実装は JS Crush ではなくて自分で実装したオリジナルのもの (未公開) です。\nわりとひどいコードなので公開予定はありません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの圧縮方法を自分がはじめて知ったのは JS1K に投稿された \u003ca href=\"https://js1k.com/2012-love/demo/1282\"\u003eMine[love]Craft\u003c/a\u003e という作品を見たときでした。\nこの作品は JS Crush で圧縮されていて、この圧縮方法を自分でも使ってみたい、と思って作ったのが h.js になります。\n\u003ca href=\"http://ehouais.net/2012/03/js1k-2012-part-1-introduction\"\u003eMine[love]Craft の作者による解説\u003c/a\u003e も興味深いものなので、是非読んでみてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eJS Crush より前の JavaScript の圧縮の実装としては \u003ca href=\"https://code.google.com/archive/p/jssfx/\"\u003ejssfx\u003c/a\u003e という Python のスクリプトがあるみたいです。\nまた、このような圧縮方法自体は JavaScript にそこまで依存していないため、他の言語 (例えば Perl) で使われていたテクニックなのではないかと思ったのですが、どうやって調べればいいのか分からなかったので、よく分かっていません。\nここは有識者の意見が求められます。\n誰か教えてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eいつか書こうと思っていた h.js のタネ明かし記事を書けて良かったです。\n最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2022-03-21-javascript-crush"},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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 <!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>OGP 画像の自動生成をする | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="このブログの OGP 画像を自動生成するようにしました。
 skia-canvas や budoux などライブラリを使用したので、それらについて解説します。"/><meta property="og:title" content="OGP 画像の自動生成をする | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-04-25-og-image"/><meta property="og:description" content="このブログの OGP 画像を自動生成するようにしました。
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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">OGP 画像の自動生成をする</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>前々から課題として感じていた、このブログの OGP 画像の自動生成を実装しました。
+skia-canvas や budoux などライブラリを使用したので、それらについて解説します。"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2022-04-25-og-image.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script 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class="btn btn-circle btn-ghost text-2xl"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 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class="pb-5 pl-4 text-2xl font-bold text-stone-900">OGP 画像の自動生成をする</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>前々から課題として感じていた、このブログの OGP 画像の自動生成を実装しました。
 OGP 画像は Twitter などの SNS にシェアするときに表示される画像です。</p>
 <p>この記事では自動生成の実装や、<a href="https://github.com/samizdatco/skia-canvas">skia-canvas</a> や <a href="https://github.com/google/budoux">budoux</a> といったライブラリを利用して、タイトルの自動改行や高速な生成を実現したので、それらについても解説します。</p>
 <!-- read more -->
@@ -71,4 +71,4 @@ <h1>あとがき</h1>
 <p>記事を書いていて気付いたのですが、使用しているライブラリが Google にどっぷりな気がします。
 Google に足を向けて眠れない‥‥。</p>
 <p>というわけで、最後まで目を通していただきありがとうございました。</p>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2022-04-25</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 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href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e といったライブラリを利用して、タイトルの自動改行や高速な生成を実現したので、それらについても解説します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003eOGP\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eTwitter などの SNS にシェアするときに表示されるタイトルや画像・説明文を指定するための仕様として、\n\u003ca href=\"https://ogp.me\"\u003eOGP\u003c/a\u003e (Open Graph Protocol) というものがあります。\nHTML の \u003ccode\u003e\u0026lt;meta\u0026gt;\u003c/code\u003e タグを使ってこれらの情報を指定するもので、例えばこのブログのトップページであれば、次のような HTML タグが追加されています。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-html\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003emeta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eproperty\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: 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style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003econtent\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;MakeNowJust Laboratory Tech Blog\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e/\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003emeta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eproperty\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;og:site_name\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003econtent\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;makenowjust-labs/blog\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e/\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003emeta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eproperty\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026quot;og:type\u0026quot;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003econtent\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: 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#6E6A86\"\u003e/\u0026gt;\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003eそして、これらの情報を元にこんな表示がされるわけです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2022-04-25-og-image/og-twitter.png\" alt=\"Twitter での表示のスクリーンショット\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e別にアクセス数を稼ぐことを目的としていないブログなのでどうでもいいのですが、このような表示があると親切なことは間違いないです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eそれと、背景の画像は \u003ca href=\"https://unsplash.com/photos/mfB1B1s4sMc\"\u003eUnsplash から\u003c/a\u003eそれっぽいのを探してきました。\nありがとうございます。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eOGP 画像の自動生成\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eOGP を設定するにあたって問題となるのが OGP 画像の生成です。\nさきほどの例はトップページだからいいのですが、個々のブログ記事に対していちいち OGP 画像を用意するのは骨が折れます。\nそこで OGP 画像を自動生成することを検討するわけですが、主に次の 2 つのような方法が考えられます。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003eOGP 画像を動的に生成するサーバーを用意して、そちらで生成する。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003eブログのビルド時に OGP 画像を生成して、静的に配信する。\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e今回は 2 の方法を取ることにしました。\nその理由は、Lambda などを使っても静的に配信するよりは面倒なことになりがちだからです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、1 の方法の実装としては \u003ca href=\"https://github.com/vercel/og-image\"\u003evercel/og-image\u003c/a\u003e などが有名です。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e自動生成の実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e自動生成は Next.js のビルドとは統合せずに、別のスクリプトとして実装して、npm scripts として実行するようにしています。\n実装は\u003ca href=\"https://github.com/makenowjust-labs/blog/blob/007b5bfae4e03c0136486dd5457716fd3507753b/scripts/og-image.mjs\"\u003eこのスクリプト\u003c/a\u003eとなります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e実装には次のライブラリなどを使用しました。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eそれぞれについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e は Google が公開している、JavaScript でシェルスクリプトのようなスクリプトを書きやすくするライブラリです。\n今回のスクリプトでは外部コマンドの呼び出しをしていないので、単に ES Module が楽に使えて、\u003ccode\u003efs\u003c/code\u003e などのパッケージがデフォルトで読み込まれているだけの何かになっている気がします。\n別に使わなくてもよかったかもしれない‥‥。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e は Chrome などに使われている描画ライブラリ \u003ca href=\"https://skia.org\"\u003eSkia\u003c/a\u003e の Node.js ラッパーで、HTML5 Canvas API を実装したものです。\n同じく Node.js 上で HTML5 Canvas API を実装したライブラリとしては \u003ca href=\"https://github.com/Automattic/node-canvas\"\u003enode-canvas\u003c/a\u003e がありますが、こちらよりも高速 (多分) でビルドが楽な気がします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、OGP 画像の自動生成では \u003ca href=\"https://github.com/puppeteer/puppeteer\"\u003epuppeteer\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/microsoft/playwright\"\u003eplaywright\u003c/a\u003e を使って、ブラウザで描画したもののスクリーンショットを取る、という方法を使うことも多いのですが (\u003ca href=\"https://github.com/vercel/og-image\"\u003evercel/og-image\u003c/a\u003e はこの方法を取っています)、\nこうすると生成時間がかなり長くなってしまうため、レイアウトなどは大変ですが Canvas API を使う方法で実装することにしました。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e は Google Fonts などで配信されているフォントを NPM のパッケージとして公開しているプロジェクトです。\n今回は OGP 画像中で使うフォントをインストールするために利用しました。\n別にリポジトリにフォントファイルを入れてもいいのですが、このようにすることで多少管理が楽になるかと思い採用しています。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e は Google が公開している、文章の改行位置をいい感じに推定してくれるライブラリです。\nskia-canvas には自動改行が実装されているのですが、あまり賢くなかったのでこのライブラリを利用しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、英語が入るとあまり上手く改行位置を見つけてくれないみたいなので、事前に空白文字で分割する処理を入れています。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e課題だった OGP 画像の自動生成を実現できてよかったです。\n完全に自己満足なのですが、Twitter などに記事をシェアするモチベーションが高まります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e記事を書いていて気付いたのですが、使用しているライブラリが Google にどっぷりな気がします。\nGoogle に足を向けて眠れない‥‥。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eというわけで、最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2022-04-25-og-image"},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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+</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2022-04-25</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 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href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e といったライブラリを利用して、タイトルの自動改行や高速な生成を実現したので、それらについても解説します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003eOGP\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003eTwitter などの SNS にシェアするときに表示されるタイトルや画像・説明文を指定するための仕様として、\n\u003ca href=\"https://ogp.me\"\u003eOGP\u003c/a\u003e (Open Graph Protocol) というものがあります。\nHTML の \u003ccode\u003e\u0026lt;meta\u0026gt;\u003c/code\u003e タグを使ってこれらの情報を指定するもので、例えばこのブログのトップページであれば、次のような HTML タグが追加されています。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-html\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #6E6A86\"\u003e\u0026lt;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003emeta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eproperty\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: 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の方法を取ることにしました。\nその理由は、Lambda などを使っても静的に配信するよりは面倒なことになりがちだからです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、1 の方法の実装としては \u003ca href=\"https://github.com/vercel/og-image\"\u003evercel/og-image\u003c/a\u003e などが有名です。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e自動生成の実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e自動生成は Next.js のビルドとは統合せずに、別のスクリプトとして実装して、npm scripts として実行するようにしています。\n実装は\u003ca href=\"https://github.com/makenowjust-labs/blog/blob/007b5bfae4e03c0136486dd5457716fd3507753b/scripts/og-image.mjs\"\u003eこのスクリプト\u003c/a\u003eとなります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e実装には次のライブラリなどを使用しました。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eそれぞれについて解説します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/zx\"\u003ezx\u003c/a\u003e は Google が公開している、JavaScript でシェルスクリプトのようなスクリプトを書きやすくするライブラリです。\n今回のスクリプトでは外部コマンドの呼び出しをしていないので、単に ES Module が楽に使えて、\u003ccode\u003efs\u003c/code\u003e などのパッケージがデフォルトで読み込まれているだけの何かになっている気がします。\n別に使わなくてもよかったかもしれない‥‥。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/samizdatco/skia-canvas\"\u003eskia-canvas\u003c/a\u003e は Chrome などに使われている描画ライブラリ \u003ca href=\"https://skia.org\"\u003eSkia\u003c/a\u003e の Node.js ラッパーで、HTML5 Canvas API を実装したものです。\n同じく Node.js 上で HTML5 Canvas API を実装したライブラリとしては \u003ca href=\"https://github.com/Automattic/node-canvas\"\u003enode-canvas\u003c/a\u003e がありますが、こちらよりも高速 (多分) でビルドが楽な気がします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、OGP 画像の自動生成では \u003ca href=\"https://github.com/puppeteer/puppeteer\"\u003epuppeteer\u003c/a\u003e や \u003ca href=\"https://github.com/microsoft/playwright\"\u003eplaywright\u003c/a\u003e を使って、ブラウザで描画したもののスクリーンショットを取る、という方法を使うことも多いのですが (\u003ca href=\"https://github.com/vercel/og-image\"\u003evercel/og-image\u003c/a\u003e はこの方法を取っています)、\nこうすると生成時間がかなり長くなってしまうため、レイアウトなどは大変ですが Canvas API を使う方法で実装することにしました。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/fontsource/fontsource\"\u003efontsource\u003c/a\u003e は Google Fonts などで配信されているフォントを NPM のパッケージとして公開しているプロジェクトです。\n今回は OGP 画像中で使うフォントをインストールするために利用しました。\n別にリポジトリにフォントファイルを入れてもいいのですが、このようにすることで多少管理が楽になるかと思い採用しています。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/google/budoux\"\u003ebudoux\u003c/a\u003e は Google が公開している、文章の改行位置をいい感じに推定してくれるライブラリです。\nskia-canvas には自動改行が実装されているのですが、あまり賢くなかったのでこのライブラリを利用しています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、英語が入るとあまり上手く改行位置を見つけてくれないみたいなので、事前に空白文字で分割する処理を入れています。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e課題だった OGP 画像の自動生成を実現できてよかったです。\n完全に自己満足なのですが、Twitter などに記事をシェアするモチベーションが高まります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e記事を書いていて気付いたのですが、使用しているライブラリが Google にどっぷりな気がします。\nGoogle に足を向けて眠れない‥‥。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eというわけで、最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2022-04-25-og-image"},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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 <!DOCTYPE html><html><head><meta charSet="utf-8"/><meta name="viewport" content="width=device-width"/><title>L*について説明してみる | makenowjust-labs/blog</title><meta name="description" content="Automata Learningアルゴリズムの代表であるL*について説明します。
 "/><meta property="og:title" content="L*について説明してみる | makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:url" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2023-07-19-lstar"/><meta property="og:description" content="Automata Learningアルゴリズムの代表であるL*について説明します。
-"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2023-07-19-lstar.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script src="/blog/_next/static/chunks/framework-7a7e500878b44665.js" defer=""></script><script 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text-stone-900">L*について説明してみる</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>Automata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。
+"/><meta property="og:site_name" content="makenowjust-labs/blog"/><meta property="og:type" content="article"/><meta property="og:image" content="https://makenowjust-labs.github.io/blog/post/2023-07-19-lstar.png"/><meta name="twitter:card" content="summary_large_image"/><meta name="twitter:site" content="@make_now_just"/><meta name="twitter:creator" content="@make_now_just"/><meta name="next-head-count" content="13"/><link data-next-font="" rel="preconnect" href="/" crossorigin="anonymous"/><link rel="preload" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" as="style"/><link rel="stylesheet" href="/blog/_next/static/css/ca4559221885c744.css" data-n-g=""/><noscript data-n-css=""></noscript><script defer="" nomodule="" src="/blog/_next/static/chunks/polyfills-78c92fac7aa8fdd8.js"></script><script src="/blog/_next/static/chunks/webpack-7b795c36ad578f1a.js" defer=""></script><script src="/blog/_next/static/chunks/framework-7a7e500878b44665.js" defer=""></script><script 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stroke-width="0" viewBox="0 0 496 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M165.9 397.4c0 2-2.3 3.6-5.2 3.6-3.3.3-5.6-1.3-5.6-3.6 0-2 2.3-3.6 5.2-3.6 3-.3 5.6 1.3 5.6 3.6zm-31.1-4.5c-.7 2 1.3 4.3 4.3 4.9 2.6 1 5.6 0 6.2-2s-1.3-4.3-4.3-5.2c-2.6-.7-5.5.3-6.2 2.3zm44.2-1.7c-2.9.7-4.9 2.6-4.6 4.9.3 2 2.9 3.3 5.9 2.6 2.9-.7 4.9-2.6 4.6-4.6-.3-1.9-3-3.2-5.9-2.9zM244.8 8C106.1 8 0 113.3 0 252c0 110.9 69.8 205.8 169.5 239.2 12.8 2.3 17.3-5.6 17.3-12.1 0-6.2-.3-40.4-.3-61.4 0 0-70 15-84.7-29.8 0 0-11.4-29.1-27.8-36.6 0 0-22.9-15.7 1.6-15.4 0 0 24.9 2 38.6 25.8 21.9 38.6 58.6 27.5 72.9 20.9 2.3-16 8.8-27.1 16-33.7-55.9-6.2-112.3-14.3-112.3-110.5 0-27.5 7.6-41.3 23.6-58.9-2.6-6.5-11.1-33.3 2.6-67.9 20.9-6.5 69 27 69 27 20-5.6 41.5-8.5 62.8-8.5s42.8 2.9 62.8 8.5c0 0 48.1-33.6 69-27 13.7 34.7 5.2 61.4 2.6 67.9 16 17.7 25.8 31.5 25.8 58.9 0 96.5-58.9 104.2-114.8 110.5 9.2 7.9 17 22.9 17 46.4 0 33.7-.3 75.4-.3 83.6 0 6.5 4.6 14.4 17.3 12.1C428.2 457.8 496 362.9 496 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text-stone-900">L*について説明してみる</h1><div class="prose-h4:text-md prose prose-stone max-w-full pb-5 pl-8 prose-h1:border-b-2 prose-h1:text-2xl prose-h2:text-xl prose-h3:text-lg"><p>Automata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。
 これは、仕様が形式化されていないシステムに対して形式的な手法を適用するための足掛りになるなど、近年重要な技術となっています。</p>
 <p>Angluin による<eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>∗</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L\ast</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord">∗</span></span></span></span></eq><a href="#cite1">[1]</a>は Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。
 <eq><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>∗</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L\ast</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord">∗</span></span></span></span></eq>は未知の正規言語を教師を使って学習するアルゴリズムで、多くの Automata Learning の基礎となっています。</p>
@@ -377,4 +377,4 @@ <h1>参考文献</h1>
 <li><a name="cite4"></a> Labbaf, Faezeh, et al. &quot;Compositional Learning for Interleaving Parallel Automata.&quot; Foundations of Software Science and Computation Structures LNCS 13992 (2023): 413.</li>
 <li><a name="cite5"></a> Neele, Thomas, and Matteo Sammartino. &quot;Compositional Automata Learning of Synchronous Systems.&quot; International Conference on Fundamental Approaches to Software Engineering. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023.</li>
 </ol>
-</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2023-07-19</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 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109.807-1.624-7.797-2.599-15.918-2.599-24.04 0-57.828 46.782-104.934 104.934-104.934 30.213 0 57.502 12.67 76.67 33.137 23.715-4.548 46.456-13.32 66.599-25.34-7.798 24.366-24.366 44.833-46.132 57.827 21.117-2.273 41.584-8.122 60.426-16.243-14.292 20.791-32.161 39.308-52.628 54.253z"></path></svg></a></div><p class="text-center"><small class="text-sm text-stone-800">(C) <!-- -->2021-2022<!-- --> <!-- -->TSUYUSATO &quot;MakeNowJust&quot; Kitsune</small></p></footer></div><script id="__NEXT_DATA__" type="application/json">{"props":{"pageProps":{"slug":"2023-07-19-lstar","title":"L*について説明してみる","created":"2023-07-19","description":"Automata Learningアルゴリズムの代表であるL*について説明します。\n","content":"\u003cp\u003eAutomata Learning とは、未知の (ブラックボックス) システムに対する入力とその出力から、システムの振舞いを有限状態オートマトンとして再現する手法です。\nこれは、仕様が形式化されていないシステムに対して形式的な手法を適用するための足掛りになるなど、近年重要な技術となっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eAngluin による\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003ca href=\"#cite1\"\u003e[1]\u003c/a\u003eは Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは未知の正規言語を教師を使って学習するアルゴリズムで、多くの Automata Learning の基礎となっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの記事では\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの、その原理やアルゴリズムの詳細について解説します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Dana_Angluin\"\u003eDana Angluin\u003c/a\u003eによって提案された Automata Learning のアルゴリズムです。\n教師を用いて、未知の正規言語のオートマトン (DFA) による表現を学習できます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここで言う「未知」というのは、オートマトンや正規表現でどのように表すのかは定かではない、という状況を表します。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは\u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eと\u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eを含む\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は}aba\\text{と}bab\\text{を含む} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eaba\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eと\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ebab\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eを含む\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eのように文章で言語が定義されている場合や、もっと現実的な例では、学習したい言語は既にコンパイルされたプログラムで受理される文字列として定義されるような状況をイメージしてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて、まずはじめに動作の大雑把なイメージを説明します。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの動作のイメージ\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの登場人物は「教師 (Teacher)」と「学習者 (Learner)」の二人です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの例では、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは長さが\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eの倍数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで学習する様子を説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e学習者は学習対象のシステムを予想して仮説 (Hypothesis) となるオートマトンを構築し、それが正しいかどうかを教師に問いかけます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide1.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e教師はその仮説が正しいかどうかを答えます。間違っている場合、反例となる入力も同時に返します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide2.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e学習者は反例を元に、仮説のオートマトンを修正します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide3.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e修正した仮説のオートマトンが正しいかを、再度教師に問いかけます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide4.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e仮説のオートマトンが正しい場合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが終了します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide5.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003eこのように学習者が教師に問いかけを繰り返して、仮説を学習対象のオートマトンに近付けていくのが\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの詳細\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eそれでは、学習者はどのようにして仮説のオートマトンを構築・修正していくのでしょうか？\nここからは、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの詳細について説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eなお、この説明は Hames Worrell の講義ノート\u003ca href=\"#cite2\"\u003e[2]\u003c/a\u003eを元にしています。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e教師\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003eここまで教師と言ってきましたが、具体的には次の 2 つのクエリ (関数) の組として定義されます。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 文字列\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが学習対象のオートマトンで受理されるかどうかを判定するクエリ。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 仮説のオートマトン\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが学習対象のオートマトンと等しいかどうかを判定するクエリ。違う場合は反例となる文字列を返します。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eでは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eという 2 つの文字列の集合を、空文字列のみの集合\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eから更新していき、この文字列の集合によって仮説のオートマトンを構築します。\nそれぞれ、次のような役割になります。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 仮説のオートマトンの状態集合となる文字列の集合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各文字列の末尾に連結したときに、受理されるかどうかで区別できる文字列の集合。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eこれだけだとよく分からないので、さらなる説明のために\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによる等価性\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを次のように定義します。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nq_1 \\equiv_T q_2 \\iff \\forall t \\in T.\\: \\mathsf{MEMBER}(q_1 \\cdot t) = \\mathsf{MEMBER}(q_2 \\cdot t)\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6582em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7194em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⟺\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∀\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1 \\equiv_T q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6582em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" 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style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eのとき「\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath 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reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって等価」と呼び、そうでない場合 (\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e̸\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1 \\not\\equiv_T q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) 「\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別される」と呼ぶことにします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別される文字列の集合と説明できます。\nつまり、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは次の分離性 (Separability) 条件を満たすものとします。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\n\\forall q_1, q_2 \\in Q.\\ (q_1 = q_2 \\iff q_1 \\equiv_T q_2)\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∀\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7194em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⟺\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6582em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eさらに、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eからオートマトンを構築するために、次の閉鎖性 (Closedness) 条件を考えます。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∃\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\n\\forall q_1 \\in Q, \\sigma \\in \\Sigma.\\: \\exists q_2 \\in Q.\\: q_1 \\cdot \\sigma \\equiv_T q_2\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∀\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが分離性条件と閉鎖性条件を満たしているとき、次のようにして仮説の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}(Q, T)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを構築できます。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmtable rowspacing=\"0.16em\" columnalign=\"left\" columnspacing=\"1em\"\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo 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style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∧\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-2.41em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003es.t.\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.95em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e分離性条件により\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは決定的に定義されて、閉鎖性条件により\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが正しく定義されることに注意してください。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの更新方法\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは次のような手順のアルゴリズムになります。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで初期化\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを閉鎖性を満たすように更新する\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e仮説の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H} = \\mathcal{H}(Q, T)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを構築し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを呼ぶ\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが成功した場合は、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを返す\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが失敗した場合は、反例を分割して必要な\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;, t\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを求め\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ, T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに追加する\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e2 から 6 を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが成功するまで繰り返す\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003eここで問題となるのは、手順 2 や 5 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eや\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eをどのようにして更新していくかです。\nこれらの更新方法について説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、手順 2 の\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを閉鎖性を満たすように更新していく方法について説明します。\n手順 1 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ = \\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとしたときや、手順 5 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを追加したあと、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは閉鎖性を満たしていない可能性があります。\nそこで、閉鎖性を満たすように足りない文字列を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに追加する必要があります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれを行う関数は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 1 \u003c/span\u003eCorrect \u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e to satisfy closedness.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eClose\u003c/span\u003e(\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ, T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efor \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003e do\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efor \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma \\in 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class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend function\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cp\u003e内容はシンプルで、各状態\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとアルファベット\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\cdot \\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって等価な状態が存在するかを調べて、無い場合は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\cdot \\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを追加する、といったものになっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、手順 5 の反例を分割する方法について説明します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれは、次のような関数で実現できます。\nただし、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの返した反例の文字列で、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは仮定の DFA です。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 2 \u003c/span\u003eSplit the given counterexample.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eSplit\u003c/span\u003e(\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew, \\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H} = (\\Sigma, Q, q_0, F, \\delta)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan 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class=\"ps-keyword\"\u003eend function\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは反例の文字列のため、どこかしらには\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e…\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(q \\cdot w_i \\dots w_{|w|}) \\ne \\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1052em;vertical-align:-0.3552em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e…\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなる状態\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eがあり、アルゴリズムは正しく分割結果を返します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eアルゴリズム\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e最後に、上で定義した関数を使った\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eのアルゴリズムを疑似コードで示します。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 3 \u003c/span\u003eThe \u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e algorithm.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eLearn\u003c/span\u003e()\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ \\gets \\{ \\varepsilon \\},\\ T \\gets \\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" 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\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eres\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eu\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003elt\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" 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class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend while\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend function\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cp\u003e大体前の説明の通りになっているのが分かるのではないかと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eアルゴリズムの分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの正確性や停止性、計算量について少し分析します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e正確性・停止性\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに成功した場合に停止するため、教師が正しければ結果の DFA は学習対象のオートマトンと等価なものになるはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e一方、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eがいずれ停止するという保証はどこにあるのでしょうか？\nこれは、次の\u003ca href=\"https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%AB%E2%80%93%E3%83%8D%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%87%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86\"\u003eMyhill-Nerode の定理\u003c/a\u003eから説明できます。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003e言語\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの同値関係\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_L\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew_1 \\equiv_L w_2 \\iff \\forall w \\in \\Sigma^\\ast.\\: (w_1 w \\in L \\iff w_2 w \\in L)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" 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style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで定義する。\nこのとき同値類\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e[w]_L\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの数が有限である、かつそのときに限り\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは正規言語である。\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003cp\u003e関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eLearn\u003c/span\u003eのループでは、一周毎に\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの要素が少なくとも 1 つは増加してきます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各要素は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別できるのですが、これはつまり学習対象の言語では\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各要素はそれぞれ別の同値類に入ることを意味します。\nよって、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが無尽蔵に増え続けるということは起こり得ず、同値類の数程度 (つまり最小オートマトンの状態数) のループ回数で停止するはずだと分かります。\nさらに、同値類が異なるように状態を分けていることから、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの結果の DFA は最小 DFA となることも分かります。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e計算量\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e計算量として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eや\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数について考察します。\nここでの\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eはアルゴリズムが結果を返す直前の\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数は、単純に\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|T| - 1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回のはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数を考えます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの中でも\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回呼び出されることに注意すると、関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eClose\u003c/span\u003eで呼び出される回数は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|Q||\\Sigma||Q||T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度だと分かります。\nただし、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q, t \\in T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに対する\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(q \\cdot t)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出しは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの中で何度も行なわれるので、結果をキャッシュすることで、呼び出し回数を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO((|Q||\\Sigma| + |Q|)|T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e((\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度にできます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eSplit\u003c/span\u003eの中で呼び出される回数は、反例の文字列さを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとして\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|w|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度のはずです。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|w|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは無尽蔵に大きくなりそうに思えますが、もし\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが常に最小の反例を返すのであれば\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|w|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは最小 NFA の大きさ\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|Q|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e以下となるはずなので、実際にはそれほど大きくなりません。\nさらに、分割点の探索を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e…\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e…\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(q_{i-1} \\cdot w_i \\dots w_{|w|}) \\ne \\mathsf{MEMBER}(q_i \\cdot w_{i+1} \\dots w_{|w|})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2083em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1052em;vertical-align:-0.3552em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e…\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.1052em;vertical-align:-0.3552em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2083em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e…\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなる位置\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ei\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6595em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを 2 分探索で探すことで\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(\\log |w|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで実現できます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|T| \\le |Q|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eであることを踏まえてまとめると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(((|Q||\\Sigma| + |Q|)|T| + \\log |w|)|T|) = O(|Q| (|Q|^2 |\\Sigma| + \\log |w|))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(((\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8141em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e程度だと分かります。\n今一効率が良いと言えるのか分かりませんが、多項式時間で未知の正規言語の DFA が求められるというのは意外なことだと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eここまで理解すれば実装は難しくないのではないかと思います。\n参考までに Ruby による実装を残しておきます。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003einitialize\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003einitial\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eaccept_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003edelta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e state_set\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003einitial\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e initial\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eaccept_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e accept_set\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; 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style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003efilter \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eteacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emember?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e},\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      delta\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e使い方は次のように\u003ccode\u003emember?\u003c/code\u003eと\u003ccode\u003efind_counterexample\u003c/code\u003eメソッドを持ったクラスを用意して、それを\u003ccode\u003eteacher\u003c/code\u003eとして\u003ccode\u003eLStar\u003c/code\u003eを作り、\u003ccode\u003elearn\u003c/code\u003eメソッドを呼び出します。\n下の例では\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは長さが\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eの倍数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの場合の学習を行なっています。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSampleTeacher\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003emember?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    w\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e%\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e==\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003efind_counterexample\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eh\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e10\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etimes\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;a\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e*\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e _1 \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003efind \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e h\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003erun\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e!=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e member?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eteacher \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSampleTeacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003elearner \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eLStar\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;a\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e teacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e learner\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003elearn\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003epp dfa\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、あまり効率の良い実装ではないことには注意してください。\n工夫できるところは色々あるので、より効率的な実装を追求してみてもいいでしょう。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e反例の見つけ方\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e実際に実装をしてみると悩むのが、どうやって反例を見つけるか、という点だと思います。\n上の例はアルファベットが 1 種類の単純なものなので、適当な回数繰り返して試せばいいのですが、アルファベットが複数あるとこの方法も使えません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e代表的な方法は、DFA をランダムに遷移して文字列を生成する方法です。\n初期状態からランダムに何度か遷移して、その遷移に使った文字列で反例を探します。\nこの方法は効率的ですが、ランダム性があるため場合によっては学習が不完全に打ち切られてしまう可能性があります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e他にも W method や WP method と呼ばれる決定的な方法も存在します\u003ca href=\"#cite3\"\u003e[3]\u003c/a\u003e。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/LearnLib/learnlib\"\u003eLearnLib\u003c/a\u003eであれば、これらの方法を試すことができるので、使ってみるといいかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e発展\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eMealy 機械への応用\u003c/strong\u003e:\n少し工夫することで\u003ca href=\"https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3\"\u003eMealy 機械\u003c/a\u003eを学習することもできます。\n具体的には\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの結果を受理したかどうかではなく、最後の遷移の出力とすることで Mealy 機械の学習が可能となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eCompisitional Automata Learning\u003c/strong\u003e:\n冒頭で書いた通り、近年 Automata Learning は形式検証への応用が盛んに行なわれています。\nしかし、対象のシステムのオートマトンでの状態数が大きい場合、現実的な時間で学習が行なえない場合があります。\nそういった問題を解決するために、現実のシステムは複数のコンポーネントから構成されていることに注目して、複数コンポーネントからなるオートマトンを学習する Compisitional Automata Learning の手法が研究されています\u003ca href=\"#cite4\"\u003e[4]\u003c/a\u003e \u003ca href=\"#cite5\"\u003e[5]\u003c/a\u003e。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e永らく書こうと思って放置していた\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについての記事をまとめることができました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは有限状態オートマトンの有限性が如実に現れた興味深いアルゴリズムだと思います。\nさらに、実用上の重要性も高まっており、研究対象としても興味深いのではないかと考えています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eあと本文とは直接関係ないのですが、この記事のために Markdown 中に\u003ccode\u003epseudocode\u003c/code\u003eを書けるようにしてみました。\n\u003ca href=\"https://github.com/SaswatPadhi/pseudocode.js\"\u003epseudocode.js\u003c/a\u003eを使っています。\nどうだったでしょうか。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e終わりに、結構長い記事になってしまいましたが、最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e参考文献\u003c/h1\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite1\"\u003e\u003c/a\u003e Angluin, Dana. \u0026quot;Learning regular sets from queries and counterexamples.\u0026quot; Information and computation 75.2 (1987): 87-106.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite2\"\u003e\u003c/a\u003e James Worrell. \u0026quot;Exactly Learning Regular Languages Using Membership and Equivalence Queries.\u0026quot; Lecture notes by James Worrell, University of Oxford. \u003ca href=\"https://www.cs.ox.ac.uk/people/james.worrell/DFA-learning.pdf\"\u003ehttps://www.cs.ox.ac.uk/people/james.worrell/DFA-learning.pdf\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite3\"\u003e\u003c/a\u003e Khendek, Fujiwara Bochmann, et al. \u0026quot;Test selection based on finite state models.\u0026quot; IEEE Transactions on software engineering 17.591-603 (1991): 10-1109.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite4\"\u003e\u003c/a\u003e Labbaf, Faezeh, et al. \u0026quot;Compositional Learning for Interleaving Parallel Automata.\u0026quot; Foundations of Software Science and Computation Structures LNCS 13992 (2023): 413.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite5\"\u003e\u003c/a\u003e Neele, Thomas, and Matteo Sammartino. \u0026quot;Compositional Automata Learning of Synchronous Systems.\u0026quot; International Conference on Fundamental Approaches to Software Engineering. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023.\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2023-07-19-lstar"},"buildId":"U-UJdNIAyc6IPOQINN5ci","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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+</div><div class="pl-4 text-right text-sm text-stone-800">2023-07-19</div></div></main><footer class="mx-auto max-w-3xl px-2 py-5 lg:px-0"><div class="flex justify-center pb-5"><a href="https://github.com/makenowjust" class="btn btn-ghost text-lg"><svg stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" viewBox="0 0 480 512" height="1em" width="1em" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M186.1 328.7c0 20.9-10.9 55.1-36.7 55.1s-36.7-34.2-36.7-55.1 10.9-55.1 36.7-55.1 36.7 34.2 36.7 55.1zM480 278.2c0 31.9-3.2 65.7-17.5 95-37.9 76.6-142.1 74.8-216.7 74.8-75.8 0-186.2 2.7-225.6-74.8-14.6-29-20.2-63.1-20.2-95 0-41.9 13.9-81.5 41.5-113.6-5.2-15.8-7.7-32.4-7.7-48.8 0-21.5 4.9-32.3 14.6-51.8 45.3 0 74.3 9 108.8 36 29-6.9 58.8-10 88.7-10 27 0 54.2 2.9 80.4 9.2 34-26.7 63-35.2 107.8-35.2 9.8 19.5 14.6 30.3 14.6 51.8 0 16.4-2.6 32.7-7.7 48.2 27.5 32.4 39 72.3 39 114.2zm-64.3 50.5c0-43.9-26.7-82.6-73.5-82.6-18.9 0-37 3.4-56 6-14.9 2.3-29.8 3.2-45.1 3.2-15.2 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003ca href=\"#cite1\"\u003e[1]\u003c/a\u003eは Automata Learning のアルゴリズムの中でも最も代表的な存在です。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの、その原理やアルゴリズムの詳細について解説します。\u003c/p\u003e\n\u003c!-- read more --\u003e\n\u003ch1\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ca href=\"https://en.wikipedia.org/wiki/Dana_Angluin\"\u003eDana Angluin\u003c/a\u003eによって提案された Automata Learning のアルゴリズムです。\n教師を用いて、未知の正規言語のオートマトン (DFA) による表現を学習できます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eここで言う「未知」というのは、オートマトンや正規表現でどのように表すのかは定かではない、という状況を表します。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは長さが\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eの倍数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eや\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは\u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eと\u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eを含む\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は}aba\\text{と}bab\\text{を含む} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eaba\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eと\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ebab\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eを含む\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eのように文章で言語が定義されている場合や、もっと現実的な例では、学習したい言語は既にコンパイルされたプログラムで受理される文字列として定義されるような状況をイメージしてください。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて、まずはじめに動作の大雑把なイメージを説明します。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの動作のイメージ\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの登場人物は「教師 (Teacher)」と「学習者 (Learner)」の二人です。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこの例では、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは長さが\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eの倍数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで学習する様子を説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e学習者は学習対象のシステムを予想して仮説 (Hypothesis) となるオートマトンを構築し、それが正しいかどうかを教師に問いかけます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide1.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e教師はその仮説が正しいかどうかを答えます。間違っている場合、反例となる入力も同時に返します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide2.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e学習者は反例を元に、仮説のオートマトンを修正します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide3.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e修正した仮説のオートマトンが正しいかを、再度教師に問いかけます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide4.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\n\u003cp\u003e仮説のオートマトンが正しい場合、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが終了します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cimg src=\"/blog/post/2023-07-19-lstar/slide5.png\" alt=\"\"\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003eこのように学習者が教師に問いかけを繰り返して、仮説を学習対象のオートマトンに近付けていくのが\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなります。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの詳細\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eそれでは、学習者はどのようにして仮説のオートマトンを構築・修正していくのでしょうか？\nここからは、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの詳細について説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eなお、この説明は Hames Worrell の講義ノート\u003ca href=\"#cite2\"\u003e[2]\u003c/a\u003eを元にしています。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e教師\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003eここまで教師と言ってきましたが、具体的には次の 2 つのクエリ (関数) の組として定義されます。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 文字列\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが学習対象のオートマトンで受理されるかどうかを判定するクエリ。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 仮説のオートマトン\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが学習対象のオートマトンと等しいかどうかを判定するクエリ。違う場合は反例となる文字列を返します。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eでは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eという 2 つの文字列の集合を、空文字列のみの集合\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eから更新していき、この文字列の集合によって仮説のオートマトンを構築します。\nそれぞれ、次のような役割になります。\u003c/p\u003e\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: 仮説のオートマトンの状態集合となる文字列の集合。\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e: \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各文字列の末尾に連結したときに、受理されるかどうかで区別できる文字列の集合。\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\u003cp\u003eこれだけだとよく分からないので、さらなる説明のために\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによる等価性\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを次のように定義します。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\nq_1 \\equiv_T q_2 \\iff \\forall t \\in T.\\: \\mathsf{MEMBER}(q_1 \\cdot t) = \\mathsf{MEMBER}(q_2 \\cdot t)\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6582em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan 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reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan 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class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e̸\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_1 \\not\\equiv_T q_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"fix\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" 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style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e) 「\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation 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class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq_2\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別される」と呼ぶことにします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこのとき、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別される文字列の集合と説明できます。\nつまり、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは次の分離性 (Separability) 条件を満たすものとします。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmo\u003e⟺\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e  \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\n\\forall q_1, q_2 \\in Q.\\ (q_1 = q_2 \\iff q_1 \\equiv_T q_2)\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∀\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7194em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e⟺\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6582em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003eさらに、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eからオートマトンを構築するために、次の閉鎖性 (Closedness) 条件を考えます。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∀\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∃\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\n\\forall q_1 \\in Q, \\sigma \\in \\Sigma.\\: \\exists q_2 \\in Q.\\: q_1 \\cdot \\sigma \\equiv_T q_2\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∀\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが分離性条件と閉鎖性条件を満たしているとき、次のようにして仮説の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}(Q, T)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを構築できます。\u003c/p\u003e\n\u003csection\u003e\u003ceqn\u003e\u003cspan class=\"katex-display\"\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmtable rowspacing=\"0.16em\" columnalign=\"left\" columnspacing=\"1em\"\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmtext\u003ewhere\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmspace width=\"1em\"/\u003e\u003cmtable rowspacing=\"0.16em\" columnalign=\"right center left\" columnspacing=\"1em\"\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∧\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003cmtd\u003e\u003cmstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"false\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmtext\u003e s.t. \u003c/mtext\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\n\\begin{array}{l}\n\\mathcal{H}(Q, T) = (\\Sigma, Q, \\varepsilon, F, \\delta) \\\\\n\\text{where} \\\\\n\\quad\\begin{array}{rcl}\nF \u0026amp;=\u0026amp; \\{ q\\ |\\ q \\in Q \\land \\mathsf{MEMBER}(q) \\} \\\\\n\\delta(q, \\sigma) \u0026amp;=\u0026amp; q\u0026#x27;\\ \\text{s.t.}\\ q\u0026#x27; \\equiv_T q \\cdot \\sigma\n\\end{array}\n\\end{array}\n\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:4.8em;vertical-align:-2.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mtable\"\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"col-align-l\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.65em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-5.26em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-4.06em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003ewhere\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-2.25em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:1em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mtable\"\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"col-align-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.45em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.61em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-2.41em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.95em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"col-align-c\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.45em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.61em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-2.41em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.95em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"col-align-l\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.45em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.61em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∧\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"top:-2.41em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003es.t.\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.95em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:0.5em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eqn\u003e\u003c/section\u003e\u003cp\u003e分離性条件により\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは決定的に定義されて、閉鎖性条件により\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\delta\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが正しく定義されることに注意してください。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの更新方法\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは次のような手順のアルゴリズムになります。\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで初期化\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを閉鎖性を満たすように更新する\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e仮説の DFA \u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H} = \\mathcal{H}(Q, T)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを構築し、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを呼ぶ\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが成功した場合は、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを返す\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが失敗した場合は、反例を分割して必要な\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;, t\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを求め\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ, T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに追加する\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e2 から 6 を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが成功するまで繰り返す\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003eここで問題となるのは、手順 2 や 5 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eや\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eをどのようにして更新していくかです。\nこれらの更新方法について説明していきます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、手順 2 の\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを閉鎖性を満たすように更新していく方法について説明します。\n手順 1 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ = \\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとしたときや、手順 5 で\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを追加したあと、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは閉鎖性を満たしていない可能性があります。\nそこで、閉鎖性を満たすように足りない文字列を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに追加する必要があります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれを行う関数は次のようになります。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 1 \u003c/span\u003eCorrect \u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e to satisfy closedness.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eClose\u003c/span\u003e(\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ, T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efor \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003e do\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efor \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma \\in \\Sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003e do\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eif \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e¬\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∃\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e.\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\lnot \\exists q\u0026#x27; \\in Q.\\: q \\cdot \\sigma \\equiv_T q\u0026#x27;\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e¬∃\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003e then\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ \\gets Q \\cup \\{ q \\cdot \\sigma \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∪\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend if\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend for\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend for\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003ereturn \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend function\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cp\u003e内容はシンプルで、各状態\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとアルファベット\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについて、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\cdot \\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって等価な状態が存在するかを調べて、無い場合は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eσ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\cdot \\sigma\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6389em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eσ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを追加する、といったものになっています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、手順 5 の反例を分割する方法について説明します。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eこれは、次のような関数で実現できます。\nただし、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの返した反例の文字列で、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは仮定の DFA です。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 2 \u003c/span\u003eSplit the given counterexample.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eSplit\u003c/span\u003e(\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew, \\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eF\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eδ\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathcal{H} = (\\Sigma, Q, q_0, F, \\delta)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3011em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eF\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03785em;\"\u003eδ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\gets q_0,\\ i \\gets 1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan 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style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003ewhile \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation 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style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなる状態\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eがあり、アルゴリズムは正しく分割結果を返します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eアルゴリズム\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e最後に、上で定義した関数を使った\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eのアルゴリズムを疑似コードで示します。\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"not-prose\"\u003e\u003cdiv class=\"ps-root\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithm with-caption\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line\" style=\"text-indent:-1.2em;padding-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eAlgorithm 3 \u003c/span\u003eThe \u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e algorithm.\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-algorithmic\"\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003efunction \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eLearn\u003c/span\u003e()\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eε\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ \\gets \\{ \\varepsilon \\},\\ T \\gets \\{ \\varepsilon \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eε\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003ewhile \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003er\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"bold\"\u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathbf{true}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6349em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathbf\"\u003etrue\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003e do\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cdiv class=\"ps-block\" style=\"margin-left:1.2em;\"\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e←\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ \\gets\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e \u003cspan class=\"ps-funcname\"\u003eClose\u003c/span\u003e(\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ, T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan 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\\mathcal{H}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e)\u003c/p\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath 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q\u0026#x27; \\},\\ T \\gets T \\cup \\{ t\u0026#x27; \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∪\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e←\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e∪\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend while\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003cp class=\"ps-line ps-code\"\u003e\n\u003cspan class=\"ps-keyword\"\u003eend function\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cp\u003e大体前の説明の通りになっているのが分かるのではないかと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003eアルゴリズムの分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの正確性や停止性、計算量について少し分析します。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e正確性・停止性\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに成功した場合に停止するため、教師が正しければ結果の DFA は学習対象のオートマトンと等価なものになるはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e一方、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eがいずれ停止するという保証はどこにあるのでしょうか？\nこれは、次の\u003ca href=\"https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%AB%E2%80%93%E3%83%8D%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%87%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86\"\u003eMyhill-Nerode の定理\u003c/a\u003eから説明できます。\u003c/p\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003e言語\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの同値関係\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_L\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" 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xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_L\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによる同値類\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\"\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e[w]_L = \\{ w\u0026#x27; \\in \\Sigma^\\ast | w \\equiv_L w\u0026#x27; \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003eΣ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.6887em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mbin mtight\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.7519em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e′\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで定義する。\nこのとき同値類\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e[\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e]\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e[w]_L\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e[\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e]\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの数が有限である、かつそのときに限り\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは正規言語である。\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003cp\u003e関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eLearn\u003c/span\u003eのループでは、一周毎に\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの要素が少なくとも 1 つは増加してきます。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各要素は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eによって区別できるのですが、これはつまり学習対象の言語では\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの各要素はそれぞれ別の同値類に入ることを意味します。\nよって、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが無尽蔵に増え続けるということは起こり得ず、同値類の数程度 (つまり最小オートマトンの状態数) のループ回数で停止するはずだと分かります。\nさらに、同値類が異なるように状態を分けていることから、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの結果の DFA は最小 DFA となることも分かります。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e計算量\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e計算量として、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eや\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数について考察します。\nここでの\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eはアルゴリズムが結果を返す直前の\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eQ\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eと\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eT\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとします。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまず、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数は、単純に\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|T| - 1\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e−\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6444em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回のはずです。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e次に、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出される回数を考えます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの中でも\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回呼び出されることに注意すると、関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eClose\u003c/span\u003eで呼び出される回数は\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|Q||\\Sigma||Q||T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度だと分かります。\nただし、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\"true\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eq \\in Q, t \\in T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mpunct\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e∈\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eに対する\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(q \\cdot t)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e⋅\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003et\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの呼び出しは\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmo\u003e≡\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\equiv_T\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6138em;vertical-align:-0.15em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≡\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3283em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの中で何度も行なわれるので、結果をキャッシュすることで、呼び出し回数を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO((|Q||\\Sigma| + |Q|)|T|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e((\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度にできます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eまた、関数\u003cspan class=\"katex-ps-funcname\"\u003eSplit\u003c/span\u003eの中で呼び出される回数は、反例の文字列さを\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ew\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとして\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(|w|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e回程度のはずです。\n\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|w|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは無尽蔵に大きくなりそうに思えますが、もし\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eU\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eI\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eV\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"script\"\u003eH\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{EQUIV}(\\mathcal{H})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\" style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eEQUIV\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathcal\" style=\"margin-right:0.00965em;\"\u003eH\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eが常に最小の反例を返すのであれば\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|w|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは最小 NFA の大きさ\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|Q|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e以下となるはずなので、実際にはそれほど大きくなりません。\nさらに、分割点の探索を\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e…\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo mathvariant=\"normal\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi 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encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(q_{i-1} \\cdot w_i \\dots w_{|w|}) \\ne \\mathsf{MEMBER}(q_i \\cdot w_{i+1} \\dots w_{|w|})\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.03588em;\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3117em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" 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mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003cspan class=\"mord vbox\"\u003e\u003cspan class=\"thinbox\"\u003e\u003cspan class=\"rlap\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"inner\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan 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style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"minner\"\u003e…\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t vlist-t2\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3448em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-2.5198em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal mtight\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-s\"\u003e​\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3552em;\"\u003e\u003cspan\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eとなる位置\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003ei\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6595em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eを 2 分探索で探すことで\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(\\log |w|)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eで実現できます。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e|T| \\le |Q|\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e≤\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eであることを踏まえてまとめると、\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eT\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eO\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΣ\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e⁡\u003c/mo\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eO(((|Q||\\Sigma| + |Q|)|T| + \\log |w|)|T|) = O(|Q| (|Q|^2 |\\Sigma| + \\log |w|))\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(((\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.13889em;\"\u003eT\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02778em;\"\u003eO\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eQ\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"msupsub\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-t\"\u003e\u003cspan class=\"vlist-r\"\u003e\u003cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8141em;\"\u003e\u003cspan style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"\u003e\u003cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"\u003e\u003cspan class=\"mord mtight\"\u003e2\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣Σ∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mbin\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mop\"\u003elo\u003cspan style=\"margin-right:0.01389em;\"\u003eg\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e))\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003e程度だと分かります。\n今一効率が良いと言えるのか分かりませんが、多項式時間で未知の正規言語の DFA が求められるというのは意外なことだと思います。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e実装\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eここまで理解すれば実装は難しくないのではないかと思います。\n参考までに Ruby による実装を残しておきます。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003einitialize\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003einitial\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eaccept_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e, \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003edelta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e state_set\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: 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style=\"color: #E0DEF4\"\u003ei\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e]],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e i \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e+\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e1\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003emake_hypothesis\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003edelta\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eDFA\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e,\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003estate_set\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003efilter \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA; font-style: italic\"\u003e@\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003eteacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emember?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eq\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e},\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e      delta\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003e使い方は次のように\u003ccode\u003emember?\u003c/code\u003eと\u003ccode\u003efind_counterexample\u003c/code\u003eメソッドを持ったクラスを用意して、それを\u003ccode\u003eteacher\u003c/code\u003eとして\u003ccode\u003eLStar\u003c/code\u003eを作り、\u003ccode\u003elearn\u003c/code\u003eメソッドを呼び出します。\n下の例では\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e{\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003e∣\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003e \u003c/mtext\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmtext\u003eは長さが3の倍数\u003c/mtext\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e}\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL = \\{ w\\ |\\ w\\text{は長さが3の倍数} \\}\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mrel\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∣\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mspace\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord text\"\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eは長さが\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord cjk_fallback\"\u003eの倍数\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの場合の学習を行なっています。\u003c/p\u003e\n\u003cpre class=\"shiki rose-pine\" style=\"background-color: #191724\" tabindex=\"0\"\u003e\u003ccode class=\"language-ruby\"\u003e\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eclass\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSampleTeacher\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003emember?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    w\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003esize \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e%\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e3\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e==\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e0\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003edef\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003efind_counterexample\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #C4A7E7; font-style: italic\"\u003eh\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e    \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #EBBCBA\"\u003e10\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003etimes\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003emap \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;a\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e*\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e _1 \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003efind \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e{\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4; font-style: italic\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e|\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e h\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003erun\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e!=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e member?\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e}\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e  \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003eend\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003eteacher \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eSampleTeacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003elearner \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #9CCFD8\"\u003eLStar\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003enew\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e([\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #F6C177\"\u003e\u0026#39;a\u0026#39;\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e],\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e teacher\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003edfa \u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #31748F\"\u003e=\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003e learner\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #908CAA\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003elearn\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003cspan style=\"color: #E0DEF4\"\u003epp dfa\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\n\u003cspan class=\"line\"\u003e\u003c/span\u003e\u003c/code\u003e\u003c/pre\u003e\n\u003cp\u003eちなみに、あまり効率の良い実装ではないことには注意してください。\n工夫できるところは色々あるので、より効率的な実装を追求してみてもいいでしょう。\u003c/p\u003e\n\u003ch3\u003e反例の見つけ方\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e実際に実装をしてみると悩むのが、どうやって反例を見つけるか、という点だと思います。\n上の例はアルファベットが 1 種類の単純なものなので、適当な回数繰り返して試せばいいのですが、アルファベットが複数あるとこの方法も使えません。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e代表的な方法は、DFA をランダムに遷移して文字列を生成する方法です。\n初期状態からランダムに何度か遷移して、その遷移に使った文字列で反例を探します。\nこの方法は効率的ですが、ランダム性があるため場合によっては学習が不完全に打ち切られてしまう可能性があります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e他にも W method や WP method と呼ばれる決定的な方法も存在します\u003ca href=\"#cite3\"\u003e[3]\u003c/a\u003e。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ca href=\"https://github.com/LearnLib/learnlib\"\u003eLearnLib\u003c/a\u003eであれば、これらの方法を試すことができるので、使ってみるといいかもしれません。\u003c/p\u003e\n\u003ch2\u003e発展\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eMealy 機械への応用\u003c/strong\u003e:\n少し工夫することで\u003ca href=\"https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3\"\u003eMealy 機械\u003c/a\u003eを学習することもできます。\n具体的には\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eM\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eB\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eE\u003c/mi\u003e\u003cmi mathvariant=\"sans-serif\"\u003eR\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003ew\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"false\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003e\\mathsf{MEMBER}(w)\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e\u003cspan class=\"mord mathsf\"\u003eMEMBER\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mopen\"\u003e(\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.02691em;\"\u003ew\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mclose\"\u003e)\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eの結果を受理したかどうかではなく、最後の遷移の出力とすることで Mealy 機械の学習が可能となります。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eCompisitional Automata Learning\u003c/strong\u003e:\n冒頭で書いた通り、近年 Automata Learning は形式検証への応用が盛んに行なわれています。\nしかし、対象のシステムのオートマトンでの状態数が大きい場合、現実的な時間で学習が行なえない場合があります。\nそういった問題を解決するために、現実のシステムは複数のコンポーネントから構成されていることに注目して、複数コンポーネントからなるオートマトンを学習する Compisitional Automata Learning の手法が研究されています\u003ca href=\"#cite4\"\u003e[4]\u003c/a\u003e \u003ca href=\"#cite5\"\u003e[5]\u003c/a\u003e。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003eあとがき\u003c/h1\u003e\n\u003cp\u003e永らく書こうと思って放置していた\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eについての記事をまとめることができました。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003ceq\u003e\u003cspan class=\"katex\"\u003e\u003cspan class=\"katex-mathml\"\u003e\u003cmath xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003e\u003csemantics\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eL\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e∗\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cannotation encoding=\"application/x-tex\"\u003eL\\ast\u003c/annotation\u003e\u003c/semantics\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"\u003e\u003cspan class=\"base\"\u003e\u003cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6833em;\"\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord mathnormal\"\u003eL\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"mord\"\u003e∗\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/eq\u003eは有限状態オートマトンの有限性が如実に現れた興味深いアルゴリズムだと思います。\nさらに、実用上の重要性も高まっており、研究対象としても興味深いのではないかと考えています。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eあと本文とは直接関係ないのですが、この記事のために Markdown 中に\u003ccode\u003epseudocode\u003c/code\u003eを書けるようにしてみました。\n\u003ca href=\"https://github.com/SaswatPadhi/pseudocode.js\"\u003epseudocode.js\u003c/a\u003eを使っています。\nどうだったでしょうか。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e終わりに、結構長い記事になってしまいましたが、最後まで目を通していただきありがとうございました。\u003c/p\u003e\n\u003ch1\u003e参考文献\u003c/h1\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite1\"\u003e\u003c/a\u003e Angluin, Dana. \u0026quot;Learning regular sets from queries and counterexamples.\u0026quot; Information and computation 75.2 (1987): 87-106.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite2\"\u003e\u003c/a\u003e James Worrell. \u0026quot;Exactly Learning Regular Languages Using Membership and Equivalence Queries.\u0026quot; Lecture notes by James Worrell, University of Oxford. \u003ca href=\"https://www.cs.ox.ac.uk/people/james.worrell/DFA-learning.pdf\"\u003ehttps://www.cs.ox.ac.uk/people/james.worrell/DFA-learning.pdf\u003c/a\u003e\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite3\"\u003e\u003c/a\u003e Khendek, Fujiwara Bochmann, et al. \u0026quot;Test selection based on finite state models.\u0026quot; IEEE Transactions on software engineering 17.591-603 (1991): 10-1109.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite4\"\u003e\u003c/a\u003e Labbaf, Faezeh, et al. \u0026quot;Compositional Learning for Interleaving Parallel Automata.\u0026quot; Foundations of Software Science and Computation Structures LNCS 13992 (2023): 413.\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ca name=\"cite5\"\u003e\u003c/a\u003e Neele, Thomas, and Matteo Sammartino. \u0026quot;Compositional Automata Learning of Synchronous Systems.\u0026quot; International Conference on Fundamental Approaches to Software Engineering. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023.\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n"},"__N_SSG":true},"page":"/post/[slug]","query":{"slug":"2023-07-19-lstar"},"buildId":"2LRDSXNZ8hcaAuqDKxzff","assetPrefix":"/blog","isFallback":false,"gsp":true,"scriptLoader":[]}</script></body></html>
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