Matemática Discreta I

Clase Práctica #1

Demuestre para cualquier cantidad $n$ de términos que la menor combinación lineal que sea natural es su $mcd$.
Demuestre que todo entero n > 11 se puede expresar como suma de dos números compuestos.
$2^{2^n} - 1$ tiene al menos $n$ divisores primos distintos.
Demuestre que $\sqrt 2$ es irracional.
Encuentre todos los enteros $n$ positivos tales que $n + 1$ divide a $n² + 1$.
Encuentre todos los enteros $x$ positivos distintos de 3 tales que $x - 3 | x³ - 3$.
Si $a1 , a2 , . . . , an$ son enteros, no todos iguales a cero, en tonces $mcd(a1 , a2 , . . . , an ) = mcd(a1 , mcd(a2 , . . . , an ))$.
Sean $a, b \in Z$, $a \neq 0$ ó $b \neq 0$. Los enteros $\frac{a}{mcd(a,b)}$ y $\frac{b}{mcd(a,b)}$ son primos relativos.
Sean $a \in Z, a \neq 0, b_1 , ... , b_n \in Z$. Si $a | (b_1 b_2 * * * b_n )$ y $a$ es primo relativo con $b_i$ , $\forall i, 1 \leq i \leq n − 1$, entonces $a | b_n$.
Sean $a, b \in Z, b \neq 0$. Si $a = bq + r$ para algún $q$ y algún $r$ enteros, entonces $mcd(a, b) = mcd(b, r)$.
Demuestre que 7^n - 3^n es múltiplo de 4 para todo $n$ natural.
Halle el menor natural compuesto que no es divisible por los primeros $k$ primos.
Demuestre que el $n$-ésimo primo es menor o igual que $2^{2^{2^{n-1}}}$.
Si $n$ es coprimo con 6, entonces $n² -1$ es divisible por 24.
Demuestre que $\sqrt[m]{n}$ es entero o irracional con $n, m ∈ Z+ $.
Demuestre que $mcm(a, b, c) = \frac{abc}{mcd(ab, bc, ca)}$
Sea $n \in Z$. Demuestre que:

$n$ es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3
n es divisible por 2^k si y solo si el número formado por sus últimos k dígitos es divisible por 2^k.