diff --git a/CONTRIBUTORS b/CONTRIBUTORS
index 35c12147f..138742978 100644
--- a/CONTRIBUTORS
+++ b/CONTRIBUTORS
@@ -2,6 +2,10 @@
Amjad Khatabi (translation of deep learning)
Zaid Alyafeai (review of deep learning)
+ Zaid Alyafeai (translation of linear algebra)
+ Amjad Khatabi (review of linear algebra)
+ Mazen Melibari (review of linear algebra)
+
--de
--es
diff --git a/ar/refresher-linear-algebra.md b/ar/refresher-linear-algebra.md
index a6b440d1e..d0e88a543 100644
--- a/ar/refresher-linear-algebra.md
+++ b/ar/refresher-linear-algebra.md
@@ -1,339 +1,413 @@
**1. Linear Algebra and Calculus refresher**
-⟶
-
+
+ملخص الجبر الخطي و التفاضل و التكامل
+
**2. General notations**
-
-⟶
+
+الرموز العامة
+
**3. Definitions**
-⟶
+
+التعريفات
+
**4. Vector ― We note x∈Rn a vector with n entries, where xi∈R is the ith entry:**
-
-⟶
-
+
+ متجه (vector) - نرمز ل $x \in \mathbb{R^n}$ متجه يحتوي على $n$ مدخلات، حيث $x_i \in \mathbb{R}$ يعتبر المدخل رقم $i$ .
+
**5. Matrix ― We note A∈Rm×n a matrix with m rows and n columns, where Ai,j∈R is the entry located in the ith row and jth column:**
-⟶
+
+ مصفوفة (Matrix) - نرمز ل ${A \in \mathbb{R}^{m\times n$ مصفوفة تحتوي على $m$ صفوف و $n$ أعمدة، حيث $A_{i,j}$ يرمز للمدخل في الصف$ i$ و العمود $j$
+
**6. Remark: the vector x defined above can be viewed as a n×1 matrix and is more particularly called a column-vector.**
-
-⟶
+
+ملاحظة : المتجه $x$ المعرف مسبقا يمكن اعتباره مصفوفة من الشكل $n \times 1$ والذي يسمى ب مصفوفة من عمود واحد.
+
**7. Main matrices**
-⟶
-
+
+المصفوفات الأساسية
+
**8. Identity matrix ― The identity matrix I∈Rn×n is a square matrix with ones in its diagonal and zero everywhere else:**
+
+ مصفوفة الوحدة (Identity) - مصفوفة الوحدة $I \in \mathbb{R^{n\times n}$ تعتبر مصفوفة مربعة تحتوي على المدخل 1 في قطر المصفوفة و 0 في بقية المدخلات:
-⟶
-
+
**9. Remark: for all matrices A∈Rn×n, we have A×I=I×A=A.**
-⟶
-
+
+ملاحظة : جميع المصفوفات من الشكل $A \in \mathbb{R^}{n\times n}$ فإن $A \times I = I \times A = A$.
+
**10. Diagonal matrix ― A diagonal matrix D∈Rn×n is a square matrix with nonzero values in its diagonal and zero everywhere else:**
-
-⟶
-
+
+مصفوفة قطرية (diagonal) - المصفوفة القطرية هي مصفوفة من الشكل
+ $D \in \mathbb{R}^{n\times n}$ حيث أن جميع العناصر الواقعة خارج القطر الرئيسي تساوي الصفر والعناصر على القطر الرئيسي تحتوي أعداد لاتساوي الصفر.
+
**11. Remark: we also note D as diag(d1,...,dn).**
-⟶
-
+
+ملاحظة: نرمز كذلك ل $D$ ب $text{diag}(d_1, \dots, d_n)\$.
+
**12. Matrix operations**
-⟶
+
+ عمليات المصفوفات
+
**13. Multiplication**
-⟶
+
+ الضرب
+
**14. Vector-vector ― There are two types of vector-vector products:**
-⟶
+
+ ضرب المتجهات - توجد طريقتين لضرب متجه بمتجه :
+
**15. inner product: for x,y∈Rn, we have:**
-⟶
+
+ ضرب داخلي (inner product): ل $x,y \in \mathbb{R}^n$ نستنتج :
+
**16. outer product: for x∈Rm,y∈Rn, we have:**
-⟶
+
+ ضرب خارجي (outer product): ل $x \in \mathbb{m}, y \in \mathbb{R}^n$ نستنتج :
+
**17. Matrix-vector ― The product of matrix A∈Rm×n and vector x∈Rn is a vector of size Rn, such that:**
-⟶
-
+
+ مصفوفة - متجه : ضرب المصفوفة $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ والمتجه $x \in \mathbb{R}^n$ ينتجه متجه من الشكل $x \in \mathbb{R}^n$ حيث :
+
**18. where aTr,i are the vector rows and ac,j are the vector columns of A, and xi are the entries of x.**
-⟶
+
+ حيث $a^{T}_{r,i}$ يعتبر متجه الصفوف و $a_{c,j}$ يعتبر متجه الأعمدة ل $A$ كذلك $x_i$ يرمز لعناصر $x$.
+
**19. Matrix-matrix ― The product of matrices A∈Rm×n and B∈Rn×p is a matrix of size Rn×p, such that:**
-⟶
+
+ ضرب مصفوفة ومصفوفة - ضرب المصفوفة $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ و $A \in \mathbb{R}^{n \times p}$ ينتجه عنه المصفوفة $A \in \mathbb{R}^{n \times p}$ حيث أن :
+
**20. where aTr,i,bTr,i are the vector rows and ac,j,bc,j are the vector columns of A and B respectively**
-⟶
+
+حيث $a^T_{r, i}$ و $b^T_{r, i}$ يعتبر متجه الصفوف $a_{c, j}$ و b_{c, j}$ متجه الأعمدة ل $A$ و $B$ على التوالي.
+
**21. Other operations**
-⟶
+
+ عمليات أخرى
+
**22. Transpose ― The transpose of a matrix A∈Rm×n, noted AT, is such that its entries are flipped:**
-⟶
+
+ المنقول (Transpose) - منقول المصفوفة$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ يرمز له ب $A^T$ حيث الصفوف يتم تبديلها مع الأعمدة :
+
**23. Remark: for matrices A,B, we have (AB)T=BTAT**
-⟶
-
+
+ ملاحظة: لأي مصفوفتين $A$ و $B$، نستنتج $(AB)^T = B^T A^T$.
+
**24. Inverse ― The inverse of an invertible square matrix A is noted A−1 and is the only matrix such that:**
-⟶
-
+
+ المعكوس (Inverse)- معكوس أي مصفوفة $A$ قابلة للعكس (Invertible) يرمز له ب $A^{-1}$ ويعتبر المعكوس المصفوفة الوحيدة التي لديها الخاصية التالية :
+
**25. Remark: not all square matrices are invertible. Also, for matrices A,B, we have (AB)−1=B−1A−1**
-⟶
+
+ملاحظة: ليس جميع المصفوفات يمكن إيجاد معكوس لها. كذلك لأي مصفوفتين $A$ و $B$ نستنتج $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
+
**26. Trace ― The trace of a square matrix A, noted tr(A), is the sum of its diagonal entries:**
-⟶
-
+
+أثر المصفوفة (Trace) - أثر أي مصفوفة مربعة $A$ يرمز له ب $tr(A)$ يعتبر مجموع العناصر التي في القطر:
+
**27. Remark: for matrices A,B, we have tr(AT)=tr(A) and tr(AB)=tr(BA)**
-⟶
-
+
+ ملاحظة : لأي مصفوفتين $A$ و $B$ لدينا $tr(A^T) = tr(A)$ و $tr(AB) = tr(BA)$.
+
**28. Determinant ― The determinant of a square matrix A∈Rn×n, noted |A| or det(A) is expressed recursively in terms of A∖i,∖j, which is the matrix A without its ith row and jth column, as follows:**
-⟶
-
+
+المحدد (Determinant) - المحدد لأي مصفوفة مربعة من الشكل $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ يرمز له ب $|A|$ او $det(A)$يتم تعريفه بإستخدام $ِA_{\\i,\\j}$ والذي يعتبر المصفوفة $A$ مع حذف الصف $i$ والعمود $j$ كالتالي :
+
**29. Remark: A is invertible if and only if |A|≠0. Also, |AB|=|A||B| and |AT|=|A|.**
-⟶
-
+
+ ملاحظة: $A$ يكون لديه معكوذ إذا وفقط إذا $\neq 0 |A|$. كذلك $|A B| = |A| |B|$ و $|A^T| = |A|$.
+
**30. Matrix properties**
-⟶
-
+
+خواص المصفوفات
+
**31. Definitions**
-⟶
-
+
+التعريفات
+
**32. Symmetric decomposition ― A given matrix A can be expressed in terms of its symmetric and antisymmetric parts as follows:**
-⟶
-
+
+ التفكيك المتماثل (Symmetric Decomposition)- المصفوفة $A$ يمكن التعبير عنها بإستخدام جزئين مثماثل (Symmetric) وغير متماثل(Antisymmetric) كالتالي :
+
**33. [Symmetric, Antisymmetric]**
-⟶
+
+[متماثل، غير متماثل]
+
**34. Norm ― A norm is a function N:V⟶[0,+∞[ where V is a vector space, and such that for all x,y∈V, we have:**
-⟶
-
+
+المعيار (Norm) - المعيار يعتبر دالة $N: V \to [0, +\infity)$ حيث $V$ يعتبر فضاء متجه (Vector Space)، حيث أن لكل $x,y \in V$ لدينا :
+
**35. N(ax)=|a|N(x) for a scalar**
-⟶
-
+
+لأي عدد $a$ فإن $N(ax) = |a| N(x)$
+
**36. if N(x)=0, then x=0**
-⟶
-
+
+$N(x) =0 \implies x = 0$
+
**37. For x∈V, the most commonly used norms are summed up in the table below:**
-⟶
-
+
+لأي $x \in V$ المعايير الأكثر إستخداماً ملخصة في الجدول التالي:
+
**38. [Norm, Notation, Definition, Use case]**
-⟶
-
+
+[المعيار، الرمز، التعريف، مثال للإستخدام]
+
**39. Linearly dependence ― A set of vectors is said to be linearly dependent if one of the vectors in the set can be defined as a linear combination of the others.**
-⟶
-
+
+ الارتباط الخطي (Linear Dependence): مجموعة المتجهات تعتبر تابعة خطياً إذا وفقط إذا كل متجه يمكن كتابته بشكل خطي بإسخدام مجموعة من المتجهات الأخرى.
+
**40. Remark: if no vector can be written this way, then the vectors are said to be linearly independent**
-⟶
-
+
+ملاحظة: إذا لم يتحقق هذا الشرط فإنها تسمى مستقلة خطياً .
+
**41. Matrix rank ― The rank of a given matrix A is noted rank(A) and is the dimension of the vector space generated by its columns. This is equivalent to the maximum number of linearly independent columns of A.**
-⟶
-
+
+ رتبة المصفوفة (Rank) - رتبة المصفوفة $A$ يرمز له ب $text{rank}(A)\$ وهو يصف حجم الفضاء المتجهي الذي نتج من أعمدة المصفوفة. يمكن وصفه كذلك بأقصى عدد من أعمدة المصفوفة $A$ التي تمتلك خاصية أنها مستقلة خطياً.
+
**42. Positive semi-definite matrix ― A matrix A∈Rn×n is positive semi-definite (PSD) and is noted A⪰0 if we have:**
-⟶
-
+
+ مصفوفة شبه معرفة موجبة (Positive semi-definite) - المصفوفة $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ تعتبر مصفوفة شبه معرفة موجبة (PSD) ويرمز لها بالرمز $A \succed 0 $ إذا :
+
**43. Remark: similarly, a matrix A is said to be positive definite, and is noted A≻0, if it is a PSD matrix which satisfies for all non-zero vector x, xTAx>0.**
-⟶
-
+
+ ملاحظة: المصفوفة $A$ تعتبر مصفوفة معرفة موجبة إذا $A \succ 0 $ وهي تعتبر مصفوفة (PSD) والتي تستوفي الشرط : لكل متجه غير الصفر $x$ حيث $x^TAx>0 $.
+
**44. Eigenvalue, eigenvector ― Given a matrix A∈Rn×n, λ is said to be an eigenvalue of A if there exists a vector z∈Rn∖{0}, called eigenvector, such that we have:**
-⟶
-
+
+ القيم الذايتة (eigenvalue), المتجه الذاتي (eigenvector) - إذا كان لدينا مصفوفة $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$، القيمة $\lambda$ تعتبر قيمة ذاتية للمصفوفة $A$ إذا وجد متجه $z \in \mathbb{R}^n \\ \{0\}$ يسمى متجه ذاتي حيث أن :
+
**45. Spectral theorem ― Let A∈Rn×n. If A is symmetric, then A is diagonalizable by a real orthogonal matrix U∈Rn×n. By noting Λ=diag(λ1,...,λn), we have:**
-⟶
-
+
+ النظرية الطيفية (spectral theorem) - نفرض $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ إذا كانت المصفوفة $A$ متماثلة فإن $A$ تعتبر مصفوفة قطرية بإستخدام مصفوفة متعامدة (orthogonal) $U \in \mathbb{R} ^{n \times n}$ ويرمز لها بالرمز $\Lambda = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ حيث أن:
+
**46. diagonal**
-⟶
-
+
+ قطرية
+
**47. Singular-value decomposition ― For a given matrix A of dimensions m×n, the singular-value decomposition (SVD) is a factorization technique that guarantees the existence of U m×m unitary, Σ m×n diagonal and V n×n unitary matrices, such that:**
-⟶
-
+
+ مجزئ القيمة المفرده (singular value decomposition) : لأي مصفوفة $A$ من الشكل $n\times m$ ، تفكيك القيمة المنفردة (SVD) يعتبر طريقة تحليل تضمن وجود $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ , مصفوفة قطرية $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$ و $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ حيث أن :
+
**48. Matrix calculus**
-⟶
-
+
+ حساب المصفوفات
+
**49. Gradient ― Let f:Rm×n→R be a function and A∈Rm×n be a matrix. The gradient of f with respect to A is a m×n matrix, noted ∇Af(A), such that:**
-⟶
-
+
+ المشتقة في فضاءات عالية (gradient) - افترض $f: \mathbb{R}^{m \times n} \rightarrow \mathbb{R}$ تعتبر دالة و $f: \mathbb{R}^{m \times n} \rightarrow \mathbb{R}$ تعتبر مصفوفة. المشتقة العليا ل $f$ بالنسبة ل $A$ يعتبر مصفوفة $n\times m$ يرمز له $nabla_A f(A)\$ حيث أن:
+
**50. Remark: the gradient of f is only defined when f is a function that returns a scalar.**
-⟶
-
+
+ملاحظة : المشتقة العليا معرفة فقط إذا كانت الدالة $f$ لديها مدى ضمن الأعداد الحقيقية.
+
**51. Hessian ― Let f:Rn→R be a function and x∈Rn be a vector. The hessian of f with respect to x is a n×n symmetric matrix, noted ∇2xf(x), such that:**
-⟶
-
+
+هيشيان (Hessian) - افترض $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ تعتبر دالة و $x \in \mathbb{R}^n$ يعتبر متجه. الهيشيان ل $f$ بالنسبة ل $x$ تعتبر مصفوفة متماثلة من الشكل $n \times n$ يرمز لها بالرمز $nabla^2_x f(x)\$ حيثب أن :
+
**52. Remark: the hessian of f is only defined when f is a function that returns a scalar**
-⟶
+
+ ملاحظة : الهيشيان معرفة فقط إذا كانت الدالة $f$ لديها مدى ضمن الأعداد الحقيقية.
+
**53. Gradient operations ― For matrices A,B,C, the following gradient properties are worth having in mind:**
-⟶
+
+ الحساب في مشتقة الفضاءات العالية- لأي مصفوفات $A,B,C$ فإن الخواص التالية مهمة :
+
**54. [General notations, Definitions, Main matrices]**
-⟶
+
+ [الرموز العامة، التعاريف، المصفوفات الرئيسية]
+
**55. [Matrix operations, Multiplication, Other operations]**
-⟶
-
+
+ [عمليات المصفوفات، الضرب، عمليات أخرى]
+
**56. [Matrix properties, Norm, Eigenvalue/Eigenvector, Singular-value decomposition]**
-⟶
-
+
+ [خواص المصفوفات، المعيار، قيمة ذاتية/متجه ذاتي، تفكيك القيمة المنفردة]
+
**57. [Matrix calculus, Gradient, Hessian, Operations]**
-⟶
+
+ [حساب المصفوفات، مشتقة الفضاءات العالية، الهيشيان، العمليات]
+