重叠型Schwarz算法利用Crank-Nicolson格式解Fisher-kpp方程

Fisher-kpp方程有如下的形式和解析解：

这份代码解的是如下的Fisher-kpp方程： $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \beta u(1-u)$$

这份代码使用了如下的Crank-Nicolson格式：

其中 $$f(u) = \beta u(1-u)$$ 对上式差分得

易知，在每一时间步长需要求解如下方程组：

其中 $$r = \alpha\frac{\tau}{h^2}$$ 由于 $U^n_0,U^n_{J}$ 已知且 $U^n_0,U^n_{J} \neq 0$ 简化上式得

其中

为简化表达，由于 $\overrightarrow{U}^{n}$ 已知，不妨令 $$D=B\overrightarrow{U}^{n}+\frac{\tau}{2}F(\overrightarrow{U}^{n})+C$$ 则 $D$ 已知，只需求解以下方程组： $$A\overrightarrow{U}^{n+1}-\frac{\tau}{2}F(\overrightarrow{U}^{n+1})=D$$ 考虑Newton迭代法： $$f(x)=0 \ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f'(x)}$$ 而矩阵形式的Newton迭代法为： $$\overrightarrow{x}_{n+1}=\overrightarrow{x}_n - J^{-1}_n F(\overrightarrow{x}_n)$$ 其中

这里，使 $$G(\overrightarrow{U})=A\overrightarrow{U}^{n+1}-\frac{\tau}{2}F(\overrightarrow{U}^{n+1})-D=0$$ 取 $\overrightarrow{U}_0=\overrightarrow{U}^n$ ，则Newton迭代法过程如下：

$$\overrightarrow{U}_{n+1}=\overrightarrow{U}_n-J^{-1}_nG(\overrightarrow{U}_n)$$

其中

迭代2次就可取得不错的结果，最后令 $\overrightarrow{U}^{n+1}=\overrightarrow{U}_2$ ，进行下一个时间步长的运算。