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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,130 @@ | ||
| 今天我们看一道 leetcode hard 难度题目：[编辑距离](https://leetcode.cn/problems/edit-distance/description/)。 | ||
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| ## 题目 | ||
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| 给你两个单词 `word1` 和 `word2`， 请返回将 `word1` 转换成 `word2` 所使用的最少操作数。 | ||
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| 你可以对一个单词进行如下三种操作： | ||
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| - 插入一个字符 | ||
| - 删除一个字符 | ||
| - 替换一个字符 | ||
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| 示例1： | ||
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| ``` | ||
| 输入：word1 = "horse", word2 = "ros" | ||
| 输出：3 | ||
| 解释： | ||
| horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') | ||
| rorse -> rose (删除 'r') | ||
| rose -> ros (删除 'e') | ||
| ``` | ||
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| ## 思考 | ||
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| 看到题目的第一感觉是按照人的直觉做题，比如示例中 `horse` 与 `ros` 其中都有 `os`，那么最短编辑距离肯定要维持 `os` 相对位置不变。但该方法可能更适合大模型用直觉做题，而不是和用代码编写，背后有太多无法固化的逻辑。 | ||
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| 看来只能用动态规划暴力解决，但如何定义变量呢？ | ||
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| 如果我们仅用一个变量，只有两种定义方法： | ||
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| - `dp(i)` 返回 `word1` 下标为 `i` 时最短编辑距离。 | ||
| - `dp(i)` 返回 `word2` 下标为 `i` 时最短编辑距离。 | ||
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| 对第一种定义，我们的目标是计算出 `dp(word1.length-1)`，其中 `dp(-1)` 即 `word1` 从空字符串转换为 `word2` 需要的编剧距离显然是 `word2.length`，即把 `word2` 依次添加到 `word1`。但严重的问题是 `dp(i)` 与 `dp(i-1)` 的关系没有意义，因为从 `dp(-1)` 开始，就已经全部完成了 `word1` 到 `word2` 的转换，如果要计算 `dp(0)`，就只能删除 `word1` 的第 `i` 项，依此类推，这样无法模拟各种可能的操作。对第二中定义也类似。 | ||
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| 这种想法的根本问题是，将 `word1` 到 `word2` 转换时，要么一次从空字符串转换为完整的 `word2`，要么从完整的 `word1` 转换为空字符串，这背后无法体现一个一个字符的考虑，所以必须用两个变量，分别定义 `i`、`j` 下标才行。 | ||
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| ## 动态规划 | ||
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| 有了上面的思考，动态规划的定义就清楚了： | ||
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| 定义 `i` 为 `word1` 下标，`j` 为 `word2` 下标，`dp(i,j)` 返回 `word1` 下标为 `i`，且 `word2` 下标为 `j` 时最短编辑距离。 | ||
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| 让我们再审视一下 `dp(i,j)` 的含义：除了返回最短编辑距离外，正因为我们知道了最短编辑距离，所以无论操作步骤、过程如何，**都可以假设我们只要做了若干步操作，下标分别截止到 `i`、`j` 的 `word1`、`word2` 内容就完全相同了**！这真是太优美了，一下就把复杂的问题简单化了，我们只要考虑当前步骤，也要清晰的知道之前步骤的状态代表什么含义。 | ||
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| 接下来考虑状态转移，由于没有任何操作限制，我们必须把所有可能的转移都考虑进去，包括： | ||
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| - `i-1,j` | ||
| - `i,j-1` | ||
| - `i-1,j-1` | ||
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| 也许会有新手问，为什么没有考虑 `i-2,j`、`i-3,j-1` 等等情况？这是因为函数是递归调用的，`i-2,j` 等价于 `i-1,j` + `i-1,j`，为了简化代码复杂度，只考虑一层转换的心智负担最低，又能通过递归实现所有操作可能性。 | ||
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| 此时老手可能会问，那 `i-1,j-1` 不就等价于 `i-1,j` + `i,j-1` 吗？这么列出来不是重复了吗？说的很对，我们要意识到这一点，但同时还要进一步意识到每一步操作都有成本，本题还支持替换字符串操作，该操作可以一步实现 `i-1,j` + `i,j-1` 两步行为，考虑它可以减少操作步骤，肯定会影响到最终答案。 | ||
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| 接着我们要思考状态转移方程是什么，仔细阅读下面的思考过程： | ||
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| 对于 `i-1,j`，因为 `i-1,j` 经过 `dp(i-1,j)` 次数的操作后，`word1[0,i-1]` 与 `word2[0,j]` 已经完全相同了，我们的目的就是让两边字符串相同，所以 `word1[i]` 这个多出来的字符串需要毫不留情的删除，删除需要一步，因此 `dp(i,j) = dp(i-1,j) + 1`，该步是删除。 | ||
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| 对于 `i,j-1`，因为 `i,j-1` 经过 `dp(i,j-1)` 次数的操作后，`word1[0,i]` 与 `word2[0,j-1]` 已经完全相同了，我们的目的就是让两边字符串相同，所以 `word2[j]` 这个字符是截止到 `word1[0,i]` 需要新增上去的，因此 `dp(i,j) = dp(i,j-1) + 1`，该步是新增。 | ||
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| 对于 `i-1,j-1`，因为 `i-1,j-1` 经过 `dp(i-1,j-1)` 次数的操作后，`word1[0,i-1]` 与 `word2[0,j-1]` 已经完全相同了，我们的目的就是让两边字符串相同，所以对于 `word1[i]` 到 `word2[j]` 来说，如果它俩字符相同，则不需要操作，如果不相同，执行一次替换操作即可，因此在 `word1[i]` 与 `word2[j]` 不同是，`dp(i,j) = dp(i,j-1) + 1`，该步是替换。 | ||
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| 对 `i-1,j-1` 的思考让我们意识到需要优先考虑 `word1[i]` 与 `word2[j]` 相同的情况，这种情况只要看前一个字符的结果就行，不需要产生额外的操作，因此转移方程是：`dp(i,j) = dp(i-1,j-1)`。 | ||
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| 最后再考虑一下边界情况，当 `word1` 与 `word2` 任意为空时，只要执行非空字符串长度次数的增或删就行了。 | ||
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| ```ts | ||
| function minDistance(word1: string, word2: string): number { | ||
| // 任意一个字符串为空时，执行非空字符串长度次数的增或删 | ||
| if(word1 === '' || word2 === '') { | ||
| return word1.length + word2.length | ||
| } | ||
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| const dp = new Map() | ||
|
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||
| function getDp(i: number, j: number) { | ||
| return dp.get(`${i},${j}`) | ||
| } | ||
|
|
||
| function calcDp(i: number, j: number) { | ||
| // 兼容下边界情况 | ||
| if (i === 0 && j === 0) { | ||
| return word1[0] === word2[0] ? 0 : 1 | ||
| } | ||
|
|
||
| if (word1[i] === word2[j]) { | ||
| return getDp(i-1, j-1) | ||
| } | ||
|
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||
| return Math.min( | ||
| // i-1, j: 删除第 i 项 | ||
| getDp(i-1, j) + 1, | ||
| // i, j-1: 增加第 i 项 | ||
| getDp(i, j-1) + 1, | ||
| // i-1, j-1: 替换第 i 项 | ||
| getDp(i-1, j-1) + 1 | ||
| ) | ||
| } | ||
|
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||
| for (let i = 0; i < word1.length; i++) { | ||
| dp.set(`${i},-1`, i + 1) | ||
| } | ||
|
|
||
| for (let j = 0; j < word2.length; j++) { | ||
| dp.set(`-1,${j}`, j + 1) | ||
| } | ||
|
|
||
| for (let i = 0; i < word1.length; i++) { | ||
| for (let j = 0; j < word2.length; j++) { | ||
| dp.set(`${i},${j}`, calcDp(i, j)) | ||
| } | ||
| } | ||
|
|
||
| return getDp(word1.length-1, word2.length-1) | ||
| }; | ||
| ``` | ||
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| 其中花了我一些时间的地方在于边界情况处理，比如当 `i=0` 时，`dp(i-1,j)` 就出现了 `i=-1` 的情况，因此对于 `i`、`j` 都要提前计算一下为 `-1` 时的值，而当下标为 `-1` 时，等价于该字符串为空，那么空字符串如何转换为 `word2`，或 `word1` 如何转换为空字符串呢？只要执行对方下标 + 1 次的增或删就行了。 | ||
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| ## 总结 | ||
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| 当意识到该题没有捷径时，就要考虑动态规划方案了，而动态规划第一难点在于定义参数，第二难点在于写状态转移方程，而只要定义对了参数，状态转移方程也就呼之欲出了，因此最难的一步就是定义参数，对这道题参数定义还有疑问的小伙伴可以回到 思考 章节重新阅读一下。 | ||
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| > 讨论地址是：[精读《算法 - 编辑距离》· Issue #501 · dt-fe/weekly](https://github.com/dt-fe/weekly/issues/501) | ||
| **如果你想参与讨论，请 [点击这里](https://github.com/dt-fe/weekly)，每周都有新的主题，周末或周一发布。前端精读 - 帮你筛选靠谱的内容。** | ||
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