Merge pull request #23 from kuklinistvan/master

2018-as vizsga aktualizálás

.gitignore

@@ -7,3 +7,6 @@
 *~
 \#*\#
 dockercmd.sh
+*.fdb_latexmk
+*.fls
+*.xdv

README.md

@@ -1,3 +1,7 @@
 # [Bevezetés a Számításelméletbe 2. jegyzet](https://bme-notes.github.io/#bsz2)
 
-[![Build Status](https://travis-ci.org/bme-notes/bsz2.svg?branch=master)](https://travis-ci.org/bme-notes/bsz2)
+[Forrás tároló](https://github.com/bme-notes/bsz2) CI build állapot: [![Build Status](https://travis-ci.org/bme-notes/bsz2.svg?branch=master)](https://travis-ci.org/bme-notes/bsz2)
+
+## Aktualizálva a 2018-as tételsorra
+
+[[Eredeti tételsor](http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_tetelsor_2018tavasz.pdf)] [[Tárgyhonlap](http://cs.bme.hu/bsz2/)] [[Forrás tároló](https://github.com/bme-notes/bsz2)]

bsz2.tex

@@ -11,9 +11,9 @@
 %%%% Ezeket változtasd meg!
 
 \cim{Bevezetés a Számításelméletbe 2.}
-\datum{2017. január 13.}
+\datum{2018. május 2.}
 \szerzo{Hegyi Zsolt}
-\segitettek{Bálint Ádám, Bereczki Márk, Bognár Márton, Bokros Bálint, Braun Márton, a CrySyS labor munkatársai,  Hanusch Róbert, az IRC-s baráti társaságom, Kormány Zsolt, a KSZK reszort tagjai, Müller András, Nagy ``Sid'' Jenő, Rostás Balázs.}
+\segitettek{Bálint Ádám, Bereczki Márk, Bognár Márton, Bokros Bálint, Braun Márton, a CrySyS labor munkatársai,  Hanusch Róbert, az IRC-s baráti társaságom, Kormány Zsolt, a KSZK reszort tagjai, Müller András, Nagy ``Sid'' Jenő, Rostás Balázs, Szabó Csongor, Kuklin István.}
 
 %%%%
 %%%%%%%
@@ -40,7 +40,7 @@
 \tableofcontents{}
 
 \section{Előszó}
-A tételsor Fleiner Tamás jegyzetei, a ``Számítástudomány alapjai'' című könyv (Katona Gyula Y., Recski András), valamint Szeszlér Dávid fantasztikus előadásai alapján készült.
+A tételsor Fleiner Tamás jegyzetei, a ``Számítástudomány alapjai'' című könyv (Katona Gyula Y., Recski András), valamint Szeszlér Dávid fantasztikus előadásai alapján készült. A későbbiek során a jegyzetbe belekerültek egyéb kiegészítések is.
 
 %%%%
 %%%%%%%
@@ -61,9 +61,6 @@ \section{Előszó}
 \ujfejezet{12_tetel}
 \ujfejezet{13_tetel}
 \ujfejezet{14_tetel}
-\ujfejezet{15_tetel}
-\ujfejezet{16_tetel}
-\ujfejezet{17_tetel}
-
+\ujfejezet{spare}
 
 \end{document}

fejezetek/01_tetel.tex

@@ -1,16 +1,16 @@
-\section{1. tétel}
+\section{1. tétel: Kombinatorika}
 
 \begin{definicio}{FAKTORIÁLIS}
 Az $n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1$ szorzatot n \textbf{faktoriálisának} nevezzük. Definíció szerint $0! = 1$.\\
 Jel: $n!$
 \end{definicio}
 
 \begin{definicio}{PERMUTÁCIÓ}
-Az n elem összes lehetséges sorrendjének a száma $n!$ és ezt hívjük \textbf{permutációnak}.
+Az n elem összes lehetséges sorrendjének a száma $n!$ és ezt hívjuk \textbf{permutációnak}.
 \end{definicio}
 
 \begin{definicio}{ISMÉTLÉSES PERMUTÁCIÓ}
-$k_1$ darab első típusú elem, ..., $k_n$ darab n-edik típusú elem lehetséges sorbarendezésének a száma a $k_1 + k_2 + ... + k_n$ \textbf{ismétléses permutációi}. Számuk:
+$k_1$ darab első típusú elem, ..., $k_n$ darab n-edik típusú elem lehetséges sorba rendezésének a száma a $k_1 + k_2 + ... + k_n$ \textbf{ismétléses permutációi}. Számuk:
 $$\frac{(k_1+k_2+...+k_n)!}{k_1!\cdot k_2!\cdot...\cdot k_n!}$$
 \end{definicio}
 
@@ -42,18 +42,8 @@ \section{1. tétel}
 \end{definicio}
 
 \begin{tetel}{BINOMIÁLIS TÉTEL}
-Tetszőleges valós x, y-ra és nemnegatív egész n-re:$$
-(x+y)^n = \begin{pmatrix}
-n\\0
-\end{pmatrix} x^n + \begin{pmatrix}
-n\\1
-\end{pmatrix} x^{n-1}y + \begin{pmatrix}
-n\\2
-\end{pmatrix} x^{n-2}y^2 + ... + \begin{pmatrix}
-n\\k
-\end{pmatrix} x^{n-k}y^k + ... + \begin{pmatrix}
-n\\n
-\end{pmatrix} y^n$$
+  Tetszőleges valós x, y-ra és nemnegatív egész n-re:
+  \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} {\color{gray} = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \dots + \binom{n}{n}y^n } \]
 \end{tetel}
 
 \begin{definicio}{PASCAL HÁROMSZÖG}
@@ -72,7 +62,7 @@ \section{1. tétel}
 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
 k\\k
 \end{pmatrix}$ együtthatók. A legutóbbi állítás alapján a Pascal-háromszög minden sorának a sorösszege:
-$2^{i-1}$. Ez abból is belátható, hogy minden sor összege kétszerese az előzőnek, ugyanis az együtthatókat úgy is meg lehet kapni, hogy az új elem a felette álló két együttható összegéből áll össze.
+$2^{k-1}$. Ez abból is belátható, hogy minden sor összege kétszerese az előzőnek, ugyanis az együtthatókat úgy is meg lehet kapni, hogy az új elem a felette álló két együttható összegéből áll össze.
 \end{definicio}
 
 \begin{tetel}{BINOMIÁLIS ÖSSZEG}

fejezetek/02_tetel.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{2. tétel}
+\section{2. tétel: Gráfelméleti alapfogalmak}
 
 % a kommentezett reszek allitolag nem a tetel reszei, ha valaki jobban tudja, nyugodtan allitsa oket vissza vagy torolje
 
@@ -43,7 +43,7 @@ \section{2. tétel}
 \end{definicio}
 
 \begin{definicio}{ÉLSOROZAT, ÚT, KÖR}
-Egy $(v_0, e_1, v_1 ... v_{k-1}, e_k, v_k)$ sorozatot \textbf{élsorozatnak} nevezzük, ha $e_i$ a $v_{i-1}$-et és $v_i$-t összekötő él. Ha $v_0 = v_k$, akkor az élsorozat zárt. Ha a csúcsok mind különbözőek, akkor egy \textbf{útról} beszélünk. Ha a csúcsok mind különbözőek és az élsorozat zárt, akkor pedig egy \textbf{körről}.
+  Egy $(v_0, e_1, v_1 ... v_{k-1}, e_k, v_k)$ sorozatot \textbf{élsorozatnak} vagy \textbf{sétának} nevezünk, ha $e_i$ a $v_{i-1}$-et és $v_i$-t összekötő él. Ha $v_0 = v_k$, akkor az élsorozat zárt. Ha a csúcsok mind különbözőek, akkor egy \textbf{útról} beszélünk. Ha a csúcsok mind különbözőek és az élsorozat zárt, akkor pedig egy \textbf{körről}.
 \end{definicio}
 
 %\begin{tetel}{EKVIVALENCIA RELÁCIÓ}
@@ -79,7 +79,7 @@ \section{2. tétel}
 \end{tetel}
 
 \begin{bizonyitas}{}
-Teljes indukcióval. n = 2-re az állítás triviálisan teljesül. T.f.h. az állítás igaz minden $n < n_0$-ra. Az előző tétel szerint minden $n_0$ fában van egy fokszámú pont, ezt hagyjuk el. Ha elhagyjuk ezt a pontot és a hozzá tartozó élet, akkor mivel a maradék $n_0 - 1$ fára már igaz az állítás, látható, hogy az $n_0$ pontú eredeti fának $n_0 - 1$ éle van.
+  Teljes indukcióval. $n=2$ csúcsú fára triviálisan teljesül az állítás ($2-1=1$ éle van). Tegyük fel, hogy minden $n$ csúcsú fára is, azaz minden $n$ csúcsú fának $n-1$ éle van. Tekintsünk minden $n+1$ csúcsú fát, amiknek az előző tétel miatt legkevesebb kettő levele van. Ha elhagyjuk az egyik levelet és a hozzátartozó élet, akkor megkapunk egyet az előbb tárgyalt $n$ csúcsú fák közül, amikre feltettük, hogy $n-1$ élük van. Ez esetben, ha az imént leválasztott levelet ``visszatesszük'', eggyel nő az élek és a csúcsok száma is, azaz lesz egy $n+1$ csúcsú fánk, aminek $n$ éle van. Tehát, ha $n$ csúcsú fára teljesül az állítás, akkor $n+1$ csúcsúra is. Ezzel és a kezdeti triviális megállapítással teljes indukcióval beláttuk az állítást.
 \end{bizonyitas}
 
 \begin{definicio}{FESZÍTŐFA}

fejezetek/03_tetel.tex

@@ -1,67 +1,82 @@
-\section{3. tétel}
-
-\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bfs.pdf}
-
-\begin{tetel}{A BFS-algoritmus futása során a következőket tartjuk nyilván}
-\begin{itemize}
-\item $b(i) (i = 1,2,3,...)$: az i-edikként bejárt csúcs
-\item $t(v) (v \in V)$: v távolsága s-től
-\item $m(v) (v \in V, v \neq s)$: v-t megelőző csúcs az algoritmus által megtalált, s-ből v-be vezető legrövidebb úton
-\item j: az eddig bejárt csúcsok száma
-\item k: a jelenleg aktív csúcs sorszáma a $b(1), b(2),...$ sorozatban.
-\end{itemize}
+\section{3. tétel: Síkbarajzolhatóság}
+
+\begin{definicio}{SÍKBARAJZOLHATÓSÁG}
+G \textbf{síkbarajzolható} gráf, ha lerajzolható úgy (a síkba), hogy az élei a csúcsokon kívül sehol máshol ne keresztezzék egymást.
+\end{definicio}
+
+\begin{definicio}{TARTOMÁNYOK}
+G síkbarajzolt gráf \textbf{tartományain} azon síkrészeket értjük, melyeket közrefognak az élek. Csak síkbarajzolt gráfok esetén beszélhetünk ezekről!
+\end{definicio}
+
+\begin{tetel}{GÖMBRE RAJZOLHATÓSÁG}
+G gráf pontosan akkor síkbrajzolható, ha gömbre rajzolható.
 \end{tetel}
 
-\begin{tetel}{BFS Algoritmus}
-Bemenete a BFS algoritmusnak: Egy G gráf és egy $s \in V$ csúcs.
-\\
-\textbf{Az algoritmus:}
-\begin{itemize}
-\item{\textbf{0.}} $j = 1$, $k = 1$, $b(1) = s$, $t(s) = 0$, minden $v \neq s$-re $t(v) = *$
-\item{\textbf{1.}} HA a b(k) csúcsnak van olyan v szomszédja, amelyre $t(v) = *$, AKKOR:
-	\begin{itemize}
-	\item $j = j + 1$
-	\item $b(j) = v$
-	\item $t(v) = t(b(k)) + 1$
-	\item $m(v) = b(k)$
-	\item Vissza az \textbf{1.} lépéshez.
-	\end{itemize}
-\item{\textbf{2.}}
-	\begin{itemize}
-	\item Ha $k = j$, akkor \textbf{STOP}.
-	\item $k = k + 1$
-	\item Vissza az \textbf{1.} lépéshez.
-	\end{itemize}
-\end{itemize}
-Az algoritmus lineáris futásidejű, tehát $c \cdot e$ lépésszámú.
+\begin{bizonyitas}{}
+Egy síkban lévő gráf leképezhető gömbfelületre oly módon, hogy ezt a gömbfelületet valamelyik pontjával a síkra helyezzük, ezt a pontot tekintjük a déli pólusként, és az északi pólusból egyeneseket húzunk a gráf pontjaiba. Ezeknek a vonalaknak van metszéspontja a gömbön, ezek szolgáltatják a kívánt vetítést. Ez az ú.n. sztereografikus projekció. Ezt visszafele is meg lehet ismételni.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{tetel}{EULER-FORMULA}
+Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak n csúcsa, e éle és t tartománya van (beleértve a külső tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának:
+$$n + t = e + 2$$
 \end{tetel}
 
-\begin{definicio}{BFS-FA}
-A BFS algoritmus futtatása után kapott F feszítőfát nevezzük \textbf{BFS fának}. F összefüggő, ha az eredeti bemeneti gráf is összefüggő volt, valamint F nem tartalmaz kört (a fa definíciója miatt). Az is megfigyelhető, hogy bármely $v \in V$ csúcsra az s-et v-vel összekötő F-beli út a legrövidebbek egyike az s-ből a v-be vezető G-beli utak közül.
-\end{definicio}
+\begin{bizonyitas}{}
+Tekintsük a gráf egy C körét (ha van) és ennek egy $a$ élét. A C kör a síkot két részre osztja. Ezeket egyéb élek további tartományokra oszthatják, de mindkét részben van egy olyan tartomány, melynek $a$ a határa. Ha a-t elhagyjuk, a két tartomány egyesül, azaz a tartományok száma eggyel csökken. A csúcsok száma nem változik, tehát $a$ elhagyásával az $n - e + t$ érték nem változik. Ezt az eljárást addig folytassuk, amíg a gráfban nem marad kör. Ekkor viszont már csak egy feszítőfa maradt. Elég az állítást erre belátni, ami triviális, hiszen $t = 1$ és $e = n - 1$.
+\end{bizonyitas}
 
-\begin{tetel}{Kruskal Algoritmus}
-Bemenet: G gráf és az élekhez tartozó w súlyfüggvény. Az éleket rendezzük sorba úgy, hogy a legalacsonyabb költségűek legyenek először a sorban. A sorban kezdjünk előre haladni. Ha az él bevétele esetén a kapott gráf körmentes marad, akkor vegyük be. Ezt addig ismételjük, amíg van izolált pont, vagy amíg az élsorozat végére nem érünk. A kapott gráf a G gráf minimális költségű feszítőfája.
-\\
-\\
-Ezt az eljárást \textbf{mohó algoritmusnak} nevezzük, mivel a végrehajtás során minden lépésben az éppen akkor a legjobbnak tűnő lehetőséget választjuk ki.
+\begin{tetel}{BECSLÉS AZ ÉLEK SZÁMÁRA}
+Ha G egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak a száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel:
+$$e \leq 3n - 6$$
 \end{tetel}
 
-\begin{definicio}{MINIMÁLIS SÚLYÚ FESZÍTŐFA}
-Legyen G gráf és annak éleihez rendelt $w: E \rightarrow \mathbb{R}$ súlyfüggvény. A gráfnak azon feszítőfáját, melyre ez a súlyfüggvény minimális, a gráf \textbf{minimális súlyú feszítőfájának} nevezzük.
-\end{definicio}
+\begin{bizonyitas}{}
+Vegyük G tetszőleges síkbarajzolását és jelöljük az egyes tartományokat határoló élek számát $c_1, c_2...c_t$-vel. Mivel a gráf egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, tehát $c_i \geq 3$. Nyilvánvaló, hogy egy élhez legfeljebb 2 tartomány tartozik, tehát ha összegezzük a tartományokat határoló élek számát minden tartományra, akkor legfeljebb $2e$-t kaphatunk. Tehát:
+$$3t \leq c_1 + c_2 + ... + c_t = \sum_{i=1}^{t} c_i \leq 2e$$
+Az Euler-formulát felhasználva:
+$$3(e - n + 2) \leq 2e$$
+Ebből átrendezéssel megkapjuk az eredményt.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{tetel}{BECSLÉS AZ ÉLEK SZÁMÁRA}
+Ha G egyszerű, síkbarajzolható gráf és minden köre legalább 4 hosszú, valamint legalább 4 pontja van, akkor:
+$$e \leq 2n - 4$$
+\end{tetel}
+
+\begin{bizonyitas}{}
+Minden tartományt legalább 4 él határol. Az előző biz. gondolatmenete alapján $4t \leq 2e$ és ez alapján megkapjuk a képletet.
+\end{bizonyitas}
 
-\begin{tetel}{}
-A Kruskal-algoritmus minimális súlyú feszítőfát talál.
+\begin{tetel}{BECSLÉS MINIMÁLIS FOKSZÁMRA}
+Ha G egyszerű, síkbarajzolható gráf, akkor $$\delta = min\, d(v) \leq 5$$ azaz a minimális fokszám legfeljebb 5.
 \end{tetel}
 
 \begin{bizonyitas}{}
-Két állítást kell bizonyítanunk - azt, hogy feszítőfát ad az algoritmus, és azt, hogy az minimális. Kezdjük az elsővel. Legyen G egy összefüggő, súlyozott gráf (tehát van súlyfüggvény hozzárendelve) és F legyen egy részgráfja, amit az algoritmus produkál. F-ben nem lehet kör, mivel az algoritmus egy fát épít. F nem lehet nem összefüggő sem, mivel az első él (amit az algoritmus talál), ami összeköt két független komponenst F-ben még nem hozhat létre kört. Tehát F feszítőgráf.
-\\
-A következő állítást teljes indukcióval bizonyítjuk be. Legyen H egy élhalmaz, amit az algoritmus a futása során generál, a minimális súlyú feszítőfának ezt a H élhalmazt tartalmaznia kell, hiszen ebben vannak minimális súlyú élek.
-Az első lépésnél az állítás igaz, hiszen H üres, és minden gráfnak részgráfja az üres gráf. A k-adik lépésnél vegyük az állítást igaznak és legyen T a minimális súlyú feszítőfa, ami tartalmazza H-t. Ha az algoritmus által kiválasztott következő él, e, szintúgy benne van a T-ben, akkor az állítás szintúgy igaz a $H + {e}$ élhalmazra. Különben $T + {e}$ élhalmazban létezik egy C kör, és ezen kívül még létezik egy olyan f él, ami befejezi a C kört, de nem része H-nak. (Ha nem létezne f, akkor e-t már nem vehettük volna be, mivel kört produkált volna $H + f$-ben). Ekkor $T - {f} + {e}$ szintúgy egy fa, és azonos az összsúlya T-jével, hiszen T-nek minimális az összsúlya, és f-nek a súlya nem lehet kisebb, mint e-nek, hiszen akkor e helyett az f élet választotta volna az algoritmus. Tehát $T - {f} + {e}$ egy minimális súlyú feszítőfa. Ezek alapján az indukciós feltevést bebizonyítottuk, és az állítás igaz, amikor H egy feszítőfává válik, ami csak akkor igaz, ha H egy minimális súlyú feszítőfa.
+Feltehetjük, hogy a gráf pontjainak a száma legalább 3. T.f.h. $\delta \geq 6$. Mivel a fokszámok összege egyenlő az élszámok kétszeresével, $6n \leq 2e$. Az élszám-becslés alapján azonban $2e \leq 6n - 12$, ezzel ellentmondásra jutottunk, mivel $6n \not\leq 6n - 12$.
 \end{bizonyitas}
 
-\begin{tetel}{Alkalmazás}
-Pontok - városok, élek - utak, súly - hossz; Villamos hálózatok, Kirchhoff-törvények, áramköri elemekhez súlyokat párosítunk
+\begin{tetel}{KURATOWSKI-GRÁFOK}
+A Kuratowski-gráfok, tehát a $K_5$ és a $K_{3,3}$ nem rajzolhatóak síkba.
 \end{tetel}
+
+\begin{bizonyitas}{}
+Ha $K_5$ síkbarajzolható volna, akkor teljesülne rá az élbecslés tétel. Azonban $K_5$ pontjainak száma 5, éleinek száma 10 és $10 \not\leq 3 \cdot 5 -6 = 9$, tehát $K_5$ nem síkbarajzolható.
+A $K_{3,3}$ minden körének hossza legalább 4. Ha volna 3 hosszú kör, legalább 2 ``kút'' vagy ``ház'' között kellene annak mennie, ami nem lehetséges. Így tehát a 2. élbecslés alkalmazható. $K_{3,3}$ pontjainak a száma 6, éleinek száma 9 és $9 \not\leq 2 \cdot 6 - 4 = 8$, tehát $K_{3,3}$ nem síkbarajzolható.
+\end{bizonyitas}
+
+Érdemes megjegyezni, hogy ezeknek a topologikus izomorf megfelelőit (tehát ha egy él helyett 2 hosszú út van) se lehet síkba lerajzolni. Ezeket úgy tudjuk konstruálni, hogy egy él helyett vagy egy új, 2-fokú csúccsal helyettesítünk, vagy egy 2-fokú csúcsot egy éllel.
+
+\begin{definicio}{TOPOLOGIKUS IZOMORFIA}
+A G és H gráfok \textbf{topologikusan izomorfak}, ha a fentebb említett transzformációk ismételt alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak.
+\end{definicio}
+
+\begin{tetel}{KURATOWSKI-TÉTEL}
+Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf lenne $K_{3,3}$-al vagy $K_5$-el. \textbf{A bizonyítás a szükségességre fentebb található.}
+\end{tetel}
+
+\begin{definicio}{DUÁLIS}
+Egy G gráf \textbf{duálisát} úgy kapjuk meg, hogy G tartományaihoz rendelünk pontokat (G* pontjai) és G*-ban akkor kötünk össze két pontot, ha a megfelelő G-beli tartományoknak van közös határvonala.
+\end{definicio}
+
+A duális gráfban tehát $n* = t$ és $t* = n$, valamint $e* = e$.
+A párhuzamos élekből ``soros élek'', hurokélekből pedig elvágó élek lesznek.