Merge pull request #24 from kuklinistvan/master

Algoritmusok magyar nyelven érthetően, néhány szemléletes ábra, apró javítások, rendezések

fejezetek/03_tetel.tex

@@ -67,7 +67,7 @@ \section{3. tétel: Síkbarajzolhatóság}
 Érdemes megjegyezni, hogy ezeknek a topologikus izomorf megfelelőit (tehát ha egy él helyett 2 hosszú út van) se lehet síkba lerajzolni. Ezeket úgy tudjuk konstruálni, hogy egy él helyett vagy egy új, 2-fokú csúccsal helyettesítünk, vagy egy 2-fokú csúcsot egy éllel.
 
 \begin{definicio}{TOPOLOGIKUS IZOMORFIA}
-A G és H gráfok \textbf{topologikusan izomorfak}, ha a fentebb említett transzformációk ismételt alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak.
+  A G és H gráfok \textbf{topologikusan izomorfak}, ha a csúcsok élekről való elhagyásával vagy azokra való felvételével, ezek ismételt alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak.
 \end{definicio}
 
 \begin{tetel}{KURATOWSKI-TÉTEL}

fejezetek/04_tetel.tex

@@ -9,7 +9,8 @@ \section{4. tétel: Hamilton és Euler körök, illetve utak}
 \end{tetel}
 
 \begin{bizonyitas}{}
-Először lássuk be, hogy ha van a gráfban E-kör, akkor minden pont foka páros. Induljunk el a gráf tetszőleges pontjából és járjuk körbe az E-kör mentén. Minden pontban ugyanannyiszor mentünk be, mint ahányszor kimentünk, a ki- és bemenések száma a pont fokszáma. Ez biztosan páros. Másik irány jegyzet 29. oldal.%, baszódjon meg ez a bizonyítás.
+  Először lássuk be, hogy ha van a gráfban E-kör, akkor minden pont foka páros. Induljunk el a gráf tetszőleges pontjából és járjuk körbe az E-kör mentén. Minden pontban ugyanannyiszor mentünk be, mint ahányszor kimentünk, a ki- és bemenések száma a pont fokszáma. Ez biztosan páros. A másik irányt ez a jegyzet nem tartalmazza, de sajnos kell :( %, baszódjon meg ez a bizonyítás. % lol :D
+\\ Szeretettel ajánljuk, jó nehéz. Ha valaki érti, esetleg küldhetne egy pull request-et lefordítva emberi nyelvre: \\  \url{https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%B6r#Sz%C3%BCks%C3%A9ges_%C3%A9s_el%C3%A9gs%C3%A9ges_felt%C3%A9tel_Euler-k%C3%B6r_l%C3%A9tez%C3%A9s%C3%A9re}
 \end{bizonyitas}
 
 \begin{tetel}{EULER-ÚT LÉTEZÉSE}
@@ -21,7 +22,7 @@ \section{4. tétel: Hamilton és Euler körök, illetve utak}
 \end{bizonyitas}
 
 \begin{definicio}{HAMILTON-ÚT ÉS KÖR}
-Egy G gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy H kört, ha G minden pontját pontosan egyszer tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak nevezünk, ha G minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
+Egy G gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy kört, ha G minden pontját pontosan egyszer tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak nevezünk, ha G minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
 \end{definicio}
 
 \begin{tetel}{SZÜKSÉGES FELTÉTEL A HAMILTON-KÖR (ÚT) LÉTEZÉSÉHEZ}

fejezetek/06_tetel.tex

@@ -1,26 +1,49 @@
 \section{6. tétel: $\nu, \rho, \alpha, \tau$}
 
+\label{sec:parositas}
 \begin{definicio}{PÁROSÍTÁS}
-\textbf{Párosításnak} vagy \textbf{részleges párosításnak} nevezünk egy M élhalmazt, ha semelyik két élnek nincsen közös pontja. Az ilyen éleket \textbf{független éleknek} nevezzük. A részleges párosítás \textbf{lefedi} éleinek végpontjait. Egy párosítás \textbf{teljes párosítás}, ha a gráf minden pontját lefedi.
+  \begin{itemize}
+  \item \textbf{Független élhalmaz} vagy \textbf{(Részleges/Teljes) Párosítás}: olyan élhalmaz, amiben semelyik két élnek nincsen közös pontja.
+  \item A párosítás éleinek végpontjait \textbf{lefedi}.
+    \begin{itemize}
+    \item Teljes párosítás: lefedi a gráf összes csúcsát.
+    \item Részleges párosítás: nem :)
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+  \imgkozep{parositas}
 \end{definicio}
 
 \begin{definicio}{FÜGGETLEN/LEFOGÓ ÉLEK/PONTOK HALMAZA (``görög betűk'')}
   \begin{itemize}
   \item Jelöljük $\nu(G)$-vel a G gráfban található \textbf{független élek} maximális számát.
-  \item $X \subseteq V(G)$ egy \textbf{lefogó ponthalmaz}, ha G minden élének legalább egyik végpontját tartalmazza.\\
-    A lefogó pontok minimális számát $\tau(G)$-vel jelöljük.
   \item $Y \subseteq E(G)$ \textbf{lefogó élhalmaz}, ha minden pontot lefog.\\
     A lefogó élek minimális számát $\rho(G)$ jelöli.
   \item $X \subseteq V(G)$ \textbf{független ponthalmaz}, ha nincs benne két szomszédos pont.\\
     A független pontok maximális száma $\alpha(G)$
+  \item $X \subseteq V(G)$ egy \textbf{lefogó ponthalmaz}, ha G minden élének legalább egyik végpontját tartalmazza.\\
+    A lefogó pontok minimális számát $\tau(G)$-vel jelöljük.
   \end{itemize}
-
+  \imgkozep{gorogbetuk}
+\begin{center}
+  \begin{tabular}{l c c}
+    & Legnagyobb független & Legkisebb lefogó\\
+    Ponthalmaz & $\alpha(G)$ & $\tau(G)$\\
+    Élhalmaz & $\nu(G)$ & $\rho(G)$
+  \end{tabular}
+\end{center}
 \end{definicio}
 
 \begin{tetel}{``Görög betűk'' viszonya egymáshoz}
-Minden G gráfra
-$$\nu(G) \leq \tau(G)$$
-$$\alpha(G) \leq \rho(G)$$
+  Minden G gráfra
+
+  \begin{minipage}{0.2\textwidth}
+    $$\nu(G) \leq \tau(G)$$
+    $$\alpha(G) \leq \rho(G)$$
+  \end{minipage}
+  \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    $$\text{független élek maximális száma} \leq \text{lefogó pontok minimális száma}$$
+    $$\text{független pontok maximális száma} \leq \text{lefogó élek minimális száma}$$
+  \end{minipage}
 \end{tetel}
 
 \begin{bizonyitas}{}

fejezetek/07_tetel.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 \section{7. Tétel: Javítóutak módszere}
 
-\begin{definicio}{PÁROSÍTÁS}
-\textbf{Párosításnak}, vagy \textbf{részleges párosításnak} nevezünk egy M élhalmazt, ha semelyik két élnek közös pontja. Az ilyen éleket független éleknek nevezzük. A részleges párosítás lefedi éleinek végpontjait. Egy párosítás \textbf{teljes párosítás}, ha a gráf minden pontját lefedi.
-\end{definicio}
+A \textbf{párosítás} definícióját lásd itt: \nameref{sec:parositas}.
 
 \begin{definicio}{ALTERNÁLÓ ÚT}
 Hozzunk létre egy részleges párosítást egy páros gráfon belül, ekkor a párosítás során bevett élek legyenek az X élhalmaz elemei. Alternáló útnak nevezünk olyan élsorozatot, ami felváltva tartalmaz nem-X beli és X-beli élt.
@@ -21,7 +19,7 @@ \section{7. Tétel: Javítóutak módszere}
 \end{tetel}
 
 \begin{bizonyitas}{}
-Először az első állítást bizonyítjuk. Legyen M egy olyan párosítás, mely a javító utak módszerével már nem bővíthető. Legyen $U = A - X$, T' azon B-beli pontok halmaza, amelyek elérhetőek U-ból alternáló úton. T pedig ezek párjainak halmaza. Legyen $Y = T' \cup (X - T)$. Ennek a halmaznak éppen $|M|$ pontja van. Ezek minden élt lefognak, hiszen $N(T\cup U) = T'$, ugyanúgy, mint a Hall-tétel bizonyításában. Így $\tau(G) \leq |M| \leq \nu(G)$ amiből viszont már következik az állítás a CUCCOS VISZONY (\textit{8. tétel}) tétel alapján. Most már könnyű belátni a második állítást is, Gallai két tétele miatt ugyanis $\nu(G) + \rho(G) = \tau(G) + \alpha(G)$ és imént beláttuk, hogy $\nu(G) = \tau(G)$.
+Először az első állítást bizonyítjuk. Legyen M egy olyan párosítás, mely a javító utak módszerével már nem bővíthető. Legyen $U = A - X$, T' azon B-beli pontok halmaza, amelyek elérhetőek U-ból alternáló úton. T pedig ezek párjainak halmaza. Legyen $Y = T' \cup (X - T)$. Ennek a halmaznak éppen $|M|$ pontja van. Ezek minden élt lefognak, hiszen $N(T\cup U) = T'$, ugyanúgy, mint a Hall-tétel bizonyításában. Így $\tau(G) \leq |M| \leq \nu(G)$ amiből viszont már következik az állítás a ``görög betűkről'' szóló tétel alapján. Most már könnyű belátni a második állítást is, Gallai két tétele miatt ugyanis $\nu(G) + \rho(G) = \tau(G) + \alpha(G)$ és imént beláttuk, hogy $\nu(G) = \tau(G)$.
 \end{bizonyitas}
 
 \begin{tetel}{HALL-TÉTEL}

fejezetek/08_tetel.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{8. tétel: gráfok élszínezése, élkromatikus szám($\chi_G$)}
+\section{8. tétel: gráfok élszínezése, élkromatikus szám - $\chi_e(G)$}
 
 % a kommentezett reszek allitolag nem a tetel reszei, ha valaki jobban tudja, nyugodtan allitsa oket vissza vagy torolje
 
@@ -25,7 +25,7 @@ \section{8. tétel: gráfok élszínezése, élkromatikus szám($\chi_G$)}
 Ha G egyszerű gráf, akkor $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$. Bizonyítás $\emptyset$.
 \end{tetel}
 
-\begin{tetel}{ÉLKROMATIKUS SZÁM}
+\begin{tetel}{ÉLKROMATIKUS SZÁM ÉS LEGNAGYOBB FOKSZÁM VISZONYA}
 Tetszőleges G gráfra $\chi_e(G) \geq \Delta(G)$ áll.
 \end{tetel}
 

fejezetek/09_tetel.tex

@@ -7,13 +7,27 @@ \section{9. tétel: hálózatok és folyamok}
 \begin{definicio}{FOLYAM, FOLYAMÉRTÉK}
 Legyen f(e) az a ``vízmennyiség'', ami az e élen folyik át. Ez az f függvény \textbf{megengedett függvény}, ha $f(e) \leq c(e)$ minden élre és
 $$m(v) = \sum\{f(e)|e\,\,\text{végpontja}\,\,v\} - \sum\{f(e) | e\,\,\text{kezdőpontja}\,\,v\} = 0$$
-minden $v\in V(G)$-re, kivéve az s és t pontokat. Egy megengedett függvényt \textbf{folyamnak} hívunk. Könnyen belátható, hogy $m(t) = -m(s)$. Ezt a közös értéket a folyam értékének nevezzük és $m_f$-el jelöljük. Egy élt \textbf{telítettnek} hívunk egy folyamban, ha $f(e) = c(e)$ és \textbf{telítetlennek}, ha $f(e) < c(e)$.
+minden $v\in V(G)$-re, kivéve az s és t pontokat.
+\begin{center}
+(ez tehát azt jelenti, hogy a kezdő és végpont kivételével fennáll, hogy\\``ami befolyik, az rögtön kifolyik'', azaz nincs csúcsban vízfelhalmozódás)
+\end{center}
+Egy megengedett függvényt \textbf{folyamnak} hívunk. Könnyen belátható, hogy $m(t) = -m(s)$. Ezt a közös értéket a folyam értékének nevezzük és $m_f$-el jelöljük. Egy élt \textbf{telítettnek} hívunk egy folyamban, ha $f(e) = c(e)$ és \textbf{telítetlennek}, ha $f(e) < c(e)$.
 \end{definicio}
 
 \begin{definicio}{VÁGÁS}
 Legyen $s \in X \subseteq V(G) \backslash {t}$, sem X, sem $V(G) - X$ nem üres halmaz. Azoknak az éleknek a C halmazát, melyeknek egyik végpontja X-beli, másik $V(G) - X$-beli, a hálózati folyam egy (s,t)-\textbf{vágásának} nevezzük. A \textbf{vágás értéke}, c(C), azon éleken levő kapacitások összege, melyek egy X-beli pontból egy $V(G) - X$-beli pontba mutatnak. Ezeket előremutató éleknek nevezzük. Tehát a vágás értékében nem játszanak szerepet a visszafelé mutató élek, vagyis azok, melyek egy X-beli pontba mutatnak.
 \end{definicio}
 
+\begin{definicio}{VÁGÁS, ezúttal magyar nyelven}
+  Osszuk a vizsgált gráf csúcsait két részre; mindkét rész tartalmazzon legalább egy csúcsot, ezen felül az első s-t, a második t-t foglalja magába. Azon élek halmazát, mely ezt a két részt összekötik, \textbf{vágásnak} hívjuk. A \textbf{vágás értéke} az a szám, amit úgy kapunk, ha összegezzük azon élek kapacitását, amik s-t tartalmazó csoportból a t-t tartalmazó csoportba irányítottak (azaz összegezzük az előre mutató élek kapacitását). Tehát a vágás értékének számolásakor a visszafelé mutató élekkel nem foglalkozunk.
+
+  \imgkozep{vagas}
+\end{definicio}
+
+\begin{definicio}{ELVÁGÓ ÉLHALMAZ}
+G összefüggő gráf, $x \in E(G)$. x elvágó élhalmaz, ha $(V(G),E(G)\backslash x) = G'$ és G' nem összefüggő. x vágás, ha x elv. élhalmaz, de semelyik részhalmaza sem az.
+\end{definicio}
+
 \begin{tetel}{JAVÍTÓ ÚT HÁLÓZATRA Algoritmus}
 Legyen a gráfban $s = v_0, v_1... v_k = t$ egy út, aminek most nem kell feltétlenül az irányítás szerint haladnia. Növelhetjük a folyam értékét abban az esetben, ha minden $i = 0,1,2,...,k-1$-re vagy $e_i = (v_i , v_{i + 1})$ és $f(e_i) < c(e_i) $, vagy $e_i = (v_{i + 1} , v_i )$ és $f(e_i) > 0 $.
 Ekkor az első típusú éleken növeljük a folyam értékét, míg a második típusúakon csökkentjük, így az összesen folyamérték nő. Az ilyen utakat javító utaknak hívjuk.\\ Egy folyam értéke akkor és csak akkor maximális, ha nincs javító út s-ből t-be.
@@ -36,7 +50,7 @@ \section{9. tétel: hálózatok és folyamok}
 A maximális folyam nyilván nem lehet nagyobb a minimális vágásnál, hiszen ha minden előremutató él telített, a visszafele mutató éleken pedig 0 a folyam értéke, akkor ezen a vágáson nem folyhat át több víz. Az előző tételben beláttuk, hogy ha létezik egy f maximális folyam, akkor létezik ilyen értékű vágás. Azt, hogy maximális értékű folyam mindig létezik, a következő tételben bizonyítjuk.
 \end{bizonyitas}
 
-\begin{tetel}{EDMONDS-CARP TÉTEL}
+\begin{tetel}{EDMONDS-KARP TÉTEL}
 Ha mindig a legrövidebb javító utat vesszük, akkor a maximális folyam meghatározásához szükséges lépések száma felülről becsülhető a pontok számának polinomjával.
 \end{tetel}
 

fejezetek/10_tetel.tex

@@ -4,14 +4,6 @@ \section{10. tétel: Menger tételei}
 Vegyük (G,s,t,c) folyamot, ezen belül veszünk utakat. \textbf{Páronként éldiszjunkt vagy élidegen útnak} nevezünk utakat, ha páronként nincsen közös élük. \textbf{Belsőleg pontdiszjunkt utaknak} nevezünk utakat, ha páronként nincs közös pontjuk.
 \end{definicio}
 
-\begin{tetel}{DISZJUNKT FOLYAMOK}
-Ha a kapacitások egész számok, akkor van olyan maximális folyam, melyben minden élen a folyam értéke egész. Így nyilvánvaló, hogy ha a kapacitás minden élen 1 vagy 0, akkor van olyan maximális folyam, melynek minden élén a folyam értéke vagy 1 vagy 0. Ha elhagyjuk ez utóbbi éleket, akkor diszjunkt utakat kapunk s-ből t-be. Ezeknek a számát úgy is meg tudjuk kapni, hogy veszünk egy minimális vágást és az élhalmazának az elemszámával lesz egyenlő a diszjunkt utak száma.
-\end{tetel}
-
-\begin{tetel}{DISZJUNKT FOLYAM ALGORITMUS}
-Vegyünk tetszőleges hálózatot, és futtassuk le a fentebb leírt módszert rajta úgy, hogy vegyünk egy minimális vágást a hálózatban. A visszaélek (tehát amik a t-t tartalmazó halmazból az s-et tartalmazó halmazba mennek) legyenek 0 értékűek, egyébként pedig 1 értékűek az élek. Ebben már meg lehet keresni a diszjunkt utakat.
-\end{tetel}
-
 \begin{tetel}{MENGER Tétel}
 Ha G egy irányított gráf, $s,t\in V(G)$, akkor az s-ből t-be vezető páronként élidegen irányított utak maximális száma megegyezik az összes irányított s-t utat lefogó élek minimális számával.
 \end{tetel}
@@ -48,7 +40,8 @@ \section{10. tétel: Menger tételei}
 Egy G gráfot \textbf{k-szorosan összefüggőnek} nevezünk, ha legalább k+1 pontja van, és akárhogy hagyunk el belőle k-nál kevesebb pontot, a maradék gráf összefüggő marad. A gráf \textbf{k-szorosan élösszefüggő}, ha akárhogy hagyunk el belőle k-nál kevesebb élt, összefüggő gráfot kapunk. A k-szoros összefüggőség ``erősebb'' a k-szoros élösszefüggőségnél.
 \end{definicio}
 
-\begin{tetel}{A G gráf akkor és csak akkor k-szorosan összefüggő, ha legalább $k + 1$ pontja van, és bármely két pontja között létezik k pontidegen út.}
+\begin{tetel}{EKVIVALENCIA PONT- ÉS ÉLÖSSZEFÜGGŐSÉGRE}
+A G gráf akkor és csak akkor k-szorosan összefüggő, ha legalább $k + 1$ pontja van, és bármely két pontja között létezik k pontidegen út.
 Hasonlóan, G akkor és csak akkor k-szorosan élösszefüggő, ha bármely két pontja között létezik k élidegen út.
 \end{tetel}